信号处理的复频域分析方法推荐
连续时间系统的复频域分析
音频提纲：（文字简略而枯燥，语音才更加详细生动哦）
连续时间系统的复频域分析可以总结为如下三个方面的内容：
图1
一、利用单边拉氏变换求解lti系统的响应
1、微分方程的求解
描述连续时间lti的是常系数的线性微分方程，也就是，由y(t)以及y(t)的各阶导数和x(t)以及x(t)的各阶导数，乘上相应的系数（常数），加加减减组合成的等式。这个时候，拉氏变换的时域微分特性就大有用武之地了。
方程两边取单边lt，利用lt微分性质，就将时域的微分方程，转变成了s域的代数方程（由x(s)、y(s)以及系统的初始状态y(0-)、y’(0-)......组成），这样，做一个简单的代数运算，就可以求出y(s)，再求反变换就得到y(t)，这个y(t)是全响应。
图2
如果要分别求解零输入响应和零状态响应，也很容易。要在求解过程中就分开，看下题，把x(s)放在一堆，初始状态y(0-)、y’(0-)......等等放在一堆，那前者就是零状态响应的拉氏变换，后者就是零输入响应的拉氏变换。
图3
2、电路系统的求解
当然可以先列出电路系统的微分方程，然后利用s域求解方法求解之。但更简便的方法是，利用电阻、电容、电感的复频域等效模型替换，将电路转换为复频域的等效电路，直接列出代数方程。
下图4是电阻、电容和电感的时域及复频域的等效模型。
图4
这样，将电路系统转换成s域的等效模型之后，利用kvl或kcl列出方程（这个就是代数方程了），求出y(s)，再求拉氏反变换即可得出y(t)。
二、利用系统函数分析系统特性
1、系统函数
系统函数h(s)是谁？
h(s)与h(t)的关系：是单位冲激响应h(t)的拉氏变换；
h(s)与输入/输出的关系：是y(s)/x(s)；
h(s)与h(jw)的关系：h(jw)=h(s)|s=jw
h(s)与微分方程的关系：
h(s)与极零点图的关系：
h(s)与系统框图、流图的关系：
图5
2、稳定性分析
定义：输入有限，则输出一定有限（bibo）
从时域上看：h(t)满足绝对可积
从复频域上看：
收敛域：包含虚轴
极点位置：对于因果系统，所有极点均位于左半平面
劳斯——霍尔维茨准则（但是需要注意，只适用于判断连续时间因果系统的稳定性，而且必须计算到n+2行才有意义）
3、系统函数极零点对滤波器特性的影响
系统的幅频特性=各零点矢量长度之积/各极点矢量长度之积
系统的相频特性=各零点矢量相角之和 - 各极点矢量相角之和
极点对幅频特性的影响——极点增强增益。
极点对频率选择性的影响是：使得w0处的增益增强。
随着极点愈靠近虚轴（a减小），增强效果愈明显。如果是高阶极点，增强效果也愈明显。
共轭极点的存在并不会显著改变w0附近的频率选择特性。
零点对幅频特性的影响——零点抵消增益。
零点对频率选择性的影响是：使得w0处的增益减小。
随着零点愈靠近虚轴（a减小），减弱的效果愈明显。当零点在虚轴上时，使w0处增益为零。
图6
下面给一个典型了例题，根据极零点图判断系统的滤波特性。
图7
三、系统框图与实现
梅森公式是桥梁，可以很方便地在系统函数和流图或框图之间转换。在自动控制、数字信号处理等课程中也有应用。因为内容比较简单，这里不再赘述。
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方程两边取单边lt，利用lt微分性质，就将时域的微分方程，转变成了s域的代数方程（由x(s)、y(s)以及系统的初始状态y(0-)、y’(0-)......组成），这样，做一个简单的代数运算，就可以求出y(s)，再求反变换就得到y(t)，这个y(t)是全响应。
图2
如果要分别求解零输入响应和零状态响应，也很容易。要在求解过程中就分开，看下题，把x(s)放在一堆，初始状态y(0-)、y’(0-)......等等放在一堆，那前者就是零状态响应的拉氏变换，后者就是零输入响应的拉氏变换。
图3
2、电路系统的求解
当然可以先列出电路系统的微分方程，然后利用s域求解方法求解之。但更简便的方法是，利用电阻、电容、电感的复频域等效模型替换，将电路转换为复频域的等效电路，直接列出代数方程。
下图4是电阻、电容和电感的时域及复频域的等效模型。
图4
这样，将电路系统转换成s域的等效模型之后，利用kvl或kcl列出方程（这个就是代数方程了），求出y(s)，再求拉氏反变换即可得出y(t)。
二、利用系统函数分析系统特性
1、系统函数
系统函数h(s)是谁？
h(s)与h(t)的关系：是单位冲激响应h(t)的拉氏变换；
h(s)与输入/输出的关系：是y(s)/x(s)；
h(s)与h(jw)的关系：h(jw)=h(s)|s=jw
h(s)与微分方程的关系：
h(s)与极零点图的关系：
h(s)与系统框图、流图的关系：
图5
2、稳定性分析
定义：输入有限，则输出一定有限（bibo）
从时域上看：h(t)满足绝对可积
从复频域上看：
收敛域：包含虚轴
极点位置：对于因果系统，所有极点均位于左半平面
劳斯——霍尔维茨准则（但是需要注意，只适用于判断连续时间因果系统的稳定性，而且必须计算到n+2行才有意义）
3、系统函数极零点对滤波器特性的影响
系统的幅频特性=各零点矢量长度之积/各极点矢量长度之积
系统的相频特性=各零点矢量相角之和 - 各极点矢量相角之和
极点对幅频特性的影响——极点增强增益。
极点对频率选择性的影响是：使得w0处的增益增强。
随着极点愈靠近虚轴（a减小），增强效果愈明显。如果是高阶极点，增强效果也愈明显。
共轭极点的存在并不会显著改变w0附近的频率选择特性。
零点对幅频特性的影响——零点抵消增益。
零点对频率选择性的影响是：使得w0处的增益减小。
随着零点愈靠近虚轴（a减小），减弱的效果愈明显。当零点在虚轴上时，使w0处增益为零。
图6
下面给一个典型了例题，根据极零点图判断系统的滤波特性。
图7
三、系统框图与实现
梅森公式是桥梁，可以很方便地在系统函数和流图或框图之间转换。在自动控制、数字信号处理等课程中也有应用。因为内容比较简单，这里不再赘述。
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