生存分析-Cox回归模型的详细说明
惊闻英国著名统计学家 david cox 去世，享年 97 岁，老爷子因提出cox回归模型而广为人知，今天带大家来了解一下cox回归。由于其复杂性和相对较少应用（除了临床研究），很多统计学习者很少接触过和应用cox回归，但随着队列研究和中长期随访的实验性研究越来越多，我们有必要学习使用它。
cox回归原理简介
在临床研究中，经常遇到是二分类结果（阴性/阳性；生存/死亡），研究者可以通过logistic回归来探讨影响结果的因素，或者构建预测模型来预测新患者的预期。
但很多时候logistic回归方法无法使用。比如，在随访期中，绝大部分对象都发生阳性结果( 患者全部治愈或者患者几乎都死亡了)。例如比较两种治疗手段治疗新冠肺炎效果（比如瑞德西韦和安慰剂组），可能在一个月的效果分别是95%和90%，在统计学上可能没有差异。
logistic回归是关于率的分析，探讨影响发生率的因素，但发生率的研究不能说明一切。我们还可以从发生率发生的速度来分析，探讨影响发生速度的因素。这便是cox回归基本思维，通俗来说，它可以探讨，到底哪类群体的“死亡”速度更快、到底什么因素影响了“死亡”速度。1972年，由英国统计学家d.r.coxcox建立了函数，来解决这个问题
其中，h（t）便是研究对象的风险函数，即“死亡”速度，它随着时间的变化而变化。死亡速度指的是，t时刻存活的个体在t 时刻的瞬时死亡（阳性事件发生）率。
h0（t）是回归方程的截距；x1，x2，…xj是自变量，β1，β2…，βj为回归系数。可以发现，cox回归通过指数转换，建立了新的线性回归方程，用于探讨自变量x对因变量h（t）的影响。
minitab案例操作
在minitab 21版本中，引入了此cox回归模型，有两种形式，今天案例分享的是固定预测变量cox回归模型。
两者简单比较如下：
案例背景：医学研究人员希望确定喉癌的阶段是否影响死亡的几率。研究人员计划根据病人的年龄调整分析。研究人员记录了90名男性癌症患者的阶段和年龄。然后，研究人员记录了第一次治疗和病人死亡或研究结束之间的年数。最后，研究人员记录了病人是否死亡。医学研究人员执行cox回归评估死亡率，年龄和癌症阶段之间的关系。研究人员还希望估计每个阶段60岁男子的存活概率。数据格式如下：
minitab操作步骤如下：
结果解释：
在上面的“拟合优度检验”表中，所有3个检验的p值都小于0.05，所以该模型非常适合数据。
在上面的“系数”表，年龄的 p 值为 0.182，因此年龄的影响在α=0.05水平上并不显著。阶段的 p 值在α=0.05水平上显著。因此，医学研究人员得出结论，癌症的阶段对患者的生存有统计学上显著的影响。在下面的“生存图”中可以进一步发现，第四期癌症的诊断对存活概率的影响最大。图中显示，1年后，60岁患者有第四期癌症的人只有64%的存活机会。其他三个阶段的概率为 85% 或更高。2 年后，iv 期患者的概率降至 42%，但其他三个阶段的概率保持在74%或更高。
另外，在minitab中还有个很有用的输出“类别预测变量的相对风险”表，使用类别变量的相对风险来评估癌症不同阶段之间的风险。
例如，第四阶段患者的死亡风险是第一阶段患者的 5.5068 倍。此外，置信区间显示，第四阶段患者的实际死亡风险可能只有第一阶段患者的2.4倍或12.6倍，信心水平为95%。置信区间不包含 1，因此第一阶段和第四阶段的死亡风险之间的差异具有统计学意义。
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其中，h（t）便是研究对象的风险函数，即“死亡”速度，它随着时间的变化而变化。死亡速度指的是，t时刻存活的个体在t 时刻的瞬时死亡（阳性事件发生）率。
h0（t）是回归方程的截距；x1，x2，…xj是自变量，β1，β2…，βj为回归系数。可以发现，cox回归通过指数转换，建立了新的线性回归方程，用于探讨自变量x对因变量h（t）的影响。
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minitab操作步骤如下：
结果解释：
在上面的“拟合优度检验”表中，所有3个检验的p值都小于0.05，所以该模型非常适合数据。
在上面的“系数”表，年龄的 p 值为 0.182，因此年龄的影响在α=0.05水平上并不显著。阶段的 p 值在α=0.05水平上显著。因此，医学研究人员得出结论，癌症的阶段对患者的生存有统计学上显著的影响。在下面的“生存图”中可以进一步发现，第四期癌症的诊断对存活概率的影响最大。图中显示，1年后，60岁患者有第四期癌症的人只有64%的存活机会。其他三个阶段的概率为 85% 或更高。2 年后，iv 期患者的概率降至 42%，但其他三个阶段的概率保持在74%或更高。
另外，在minitab中还有个很有用的输出“类别预测变量的相对风险”表，使用类别变量的相对风险来评估癌症不同阶段之间的风险。
例如，第四阶段患者的死亡风险是第一阶段患者的 5.5068 倍。此外，置信区间显示，第四阶段患者的实际死亡风险可能只有第一阶段患者的2.4倍或12.6倍，信心水平为95%。置信区间不包含 1，因此第一阶段和第四阶段的死亡风险之间的差异具有统计学意义。
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