正弦交流电量的相量表示
正弦交流电量的相量表示
正弦量除了用波形和瞬时表达式来表示以外，利用欧拉公式还可以表示成复指数的形式。一个正弦交流电流，可以表示为复指数形式：
（3-3-1）
方括号内是一个复数，符号im表示取复数的虚部。复指数的模即为正弦函数的幅值，
图3-3-1
幅角为正弦函数的相位，它随时间以角度增长。若把复数在复平面上的对应点与原点之间用一带箭头的有向线段相连，如图3-3-1所示，则可得到一个幅角随时间变化的旋转矢量。这条用来表示正弦函数的矢量称为正弦量的相量。相量在复平面上的图形称为相量图。图中画出了该相量在和时的位置。当时，该相量与实轴夹角为正弦函数的初始相位角。该相量以角速度随时间向逆时针方向旋转，当时刻，相量转到图中虚线所示位置。此时与实轴夹角为。由图可以看出，该相量在虚轴上的投影长度等于，即等于对应的正弦函数在该时刻的瞬时值。
在用复平面上的相量表示正弦函数时，只要确定其初相位时的相量即可，即相当于取时的复指数函数。实际的正弦时间函数只要把该复数乘以，再取其虚部就可以得到。在电工计算中，复数中的模一般取为正弦量的有效值，即可以把复数表示为，这里i为有效值，为初相角。这样我们可以把式（3-1-1）的正弦交流电流表示成相量形式为
（3-2-2） 或 （3-2-3）
掌握正弦函数的瞬时值表达式，相量表示图形和复数表达式，并理解它们之间的内在转换关系和意义，是稳态正弦交流电路中相量计算的基础。
图 3-3-2
下面来讨论两个同频率正弦量的计算问题。对于图3-3-2所示的电路，若已知两条支路中的电流为
，
则合成电流i为：
由前面分析得：
这里： （3-3-4）
由上式可知，要计算合成电流i只要知道合成电流的相量即可，于是两个同频率的正弦电流相加问题，就转化成这两个正弦电流对应的相量的相加问题，即把三角函数的相加转化为两个复数的相加运算。
我们还可以在相量图上直观地来分析两个正弦量的相量相加的意义。电流i1与i2的相量、示于图3-3-3中。
图 3-3-3
当时相量处于初始位置。按两个相量相加的平行四边形法则，作与的合成相量，如图3-3-3b所示。由图可见在虚轴上的投影即为与相量在虚轴上的投影值之和，合成相量在虚轴上的投影即为的瞬时值。经过时刻，相量与都沿着逆时针方向旋转了角度，如图3-3-3a所示，由于与的相对位置没有变化，因此其合成相量的长度也没有变化。与时刻相比，也逆时针旋转了相角。此时与在虚轴上的投影值之和仍等于合成相量在虚轴上的投影。在任意时刻都可以用合成相量在虚轴的投影来表示与的投影之和。相量在虚轴的投影即为该相量对应的正弦函数的瞬时值，这样两个正弦函数瞬时值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函数瞬时值，从而把三角函数运算变成为相量相加减的复数运算。必须指出，只有同频率的
正弦量才可以进行相量运算。
图 3-3-4
例3-3-1 在图3-3-4中，已知，，试求总电压u的值。
解：根据基尔霍夫定律有，用相量来表示则，已知，，则可求得
总电压u的瞬时表达式为：
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图3-3-1
幅角为正弦函数的相位，它随时间以角度增长。若把复数在复平面上的对应点与原点之间用一带箭头的有向线段相连，如图3-3-1所示，则可得到一个幅角随时间变化的旋转矢量。这条用来表示正弦函数的矢量称为正弦量的相量。相量在复平面上的图形称为相量图。图中画出了该相量在和时的位置。当时，该相量与实轴夹角为正弦函数的初始相位角。该相量以角速度随时间向逆时针方向旋转，当时刻，相量转到图中虚线所示位置。此时与实轴夹角为。由图可以看出，该相量在虚轴上的投影长度等于，即等于对应的正弦函数在该时刻的瞬时值。
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（3-2-2） 或 （3-2-3）
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图 3-3-2
下面来讨论两个同频率正弦量的计算问题。对于图3-3-2所示的电路，若已知两条支路中的电流为
，
则合成电流i为：
由前面分析得：
这里： （3-3-4）
由上式可知，要计算合成电流i只要知道合成电流的相量即可，于是两个同频率的正弦电流相加问题，就转化成这两个正弦电流对应的相量的相加问题，即把三角函数的相加转化为两个复数的相加运算。
我们还可以在相量图上直观地来分析两个正弦量的相量相加的意义。电流i1与i2的相量、示于图3-3-3中。
图 3-3-3
当时相量处于初始位置。按两个相量相加的平行四边形法则，作与的合成相量，如图3-3-3b所示。由图可见在虚轴上的投影即为与相量在虚轴上的投影值之和，合成相量在虚轴上的投影即为的瞬时值。经过时刻，相量与都沿着逆时针方向旋转了角度，如图3-3-3a所示，由于与的相对位置没有变化，因此其合成相量的长度也没有变化。与时刻相比，也逆时针旋转了相角。此时与在虚轴上的投影值之和仍等于合成相量在虚轴上的投影。在任意时刻都可以用合成相量在虚轴的投影来表示与的投影之和。相量在虚轴的投影即为该相量对应的正弦函数的瞬时值，这样两个正弦函数瞬时值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函数瞬时值，从而把三角函数运算变成为相量相加减的复数运算。必须指出，只有同频率的
正弦量才可以进行相量运算。
图 3-3-4
例3-3-1 在图3-3-4中，已知，，试求总电压u的值。
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