以远场模型（平面波）为例,讲解时空采样定理！
一、时域与空域特性
以远场模型（平面波）为例，假设均匀线阵接收的为窄带信号，假设相邻振元间隔为d，入射角θ为：
从空域坐标来看，相邻振元的间隔为：dsinθ
等价到时间轴来看，采样点的间距为：dsinθ，对应时间间隔为：
二、时、空域与采样定理
a、空域角度理解
相邻振元的相位差为：
以干涉仪为例，如果存在相位模糊，有
k为非零整数，如果希望不出现相位模糊
对应扫描边界，则有
容易证明，同干涉仪一样，均匀线阵谱估计中的导向矢量，如果不满足上面的约束条件，同样会有多峰的问题。
b、时域角度理解
前文提到，采样点对应的时间间隔为，即采样周期。空域均匀线阵对应时域均匀采样，采样频率：
入射信号的频率为：
如果采样无混叠，需要满足nyquist采样定理：
该约束条件等价于：
可以看出均匀线阵的相位无模糊对应时域均匀采样的奈奎斯特定理。多说一句，如果是非均匀线阵、圆阵等形式，可以理解成对应维度的非均匀采样；从空域角度理解，非均匀阵列可以解决模糊问题，从时域角度理解，稀疏采样/非均匀采样可以突破奈奎斯特采样定理。
三、时、空域及功率谱
波束形成主要对感兴趣的方向进行增强/抑制，而谱估计更多是参数估计问题，前者操作多为主动，后者操作多为被动，mvdr算法对二者均适用。这里暂且抛开应用场景，仅从时、空角度理解功率谱的”谱”特性。
接着上文的时域、空域思路，这里先从时域的角度来表述，为了简化均不考虑加窗情形。
a、时域角度理解
对于n点均匀采样的信号un(n)，对其进行傅里叶变换：
un(n)的相关函数为：
容易证明有如下对应关系：
而相关函数对应的傅里叶变换为功率谱密度，可以求解功率谱密度：
b、空域角度理解
n个均匀线阵接收单元，对应的波束形成为：
即空域的波束形成可以理解为时域的傅里叶变换，
从而空域的功率谱密度可以等价为：
考虑到时域、空域具有等价性，空域的功率谱这么理解是合理的。
现在以常用的mvdr算法来理解这种等价性：
接收信号：
mvdr就是含有等式约束的最优化问题：
可以求解：
这个时候，如果将最优的w带入y，空域角度理解：y对应就是波束形成的结果。时域角度理解：y对应为傅里叶变换的结果。
通常mvdr的结果为e[y*y]的输出，根据上文分析可知，该结果从时域理解就是功率谱（差一个常数），所以从空域角度称作“谱”其实也是可以被接受的，对应功率（谱）：
因为这是在空域，为了与时域功率谱的名字加以区别，可以称其为空间谱。
具体空间谱名称怎么由来，本文并没有考证。本文只是提供了一种理解“空间谱”名称的角度，至少music等算法的“谱”便与此不同，或许music等算法只是继承了“空间谱”这个名词也未可知。
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a、空域角度理解
相邻振元的相位差为：
以干涉仪为例，如果存在相位模糊，有
k为非零整数，如果希望不出现相位模糊
对应扫描边界，则有
容易证明，同干涉仪一样，均匀线阵谱估计中的导向矢量，如果不满足上面的约束条件，同样会有多峰的问题。
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前文提到，采样点对应的时间间隔为，即采样周期。空域均匀线阵对应时域均匀采样，采样频率：
入射信号的频率为：
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可以看出均匀线阵的相位无模糊对应时域均匀采样的奈奎斯特定理。多说一句，如果是非均匀线阵、圆阵等形式，可以理解成对应维度的非均匀采样；从空域角度理解，非均匀阵列可以解决模糊问题，从时域角度理解，稀疏采样/非均匀采样可以突破奈奎斯特采样定理。
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接着上文的时域、空域思路，这里先从时域的角度来表述，为了简化均不考虑加窗情形。
a、时域角度理解
对于n点均匀采样的信号un(n)，对其进行傅里叶变换：
un(n)的相关函数为：
容易证明有如下对应关系：
而相关函数对应的傅里叶变换为功率谱密度，可以求解功率谱密度：
b、空域角度理解
n个均匀线阵接收单元，对应的波束形成为：
即空域的波束形成可以理解为时域的傅里叶变换，
从而空域的功率谱密度可以等价为：
考虑到时域、空域具有等价性，空域的功率谱这么理解是合理的。
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接收信号：
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可以求解：
这个时候，如果将最优的w带入y，空域角度理解：y对应就是波束形成的结果。时域角度理解：y对应为傅里叶变换的结果。
通常mvdr的结果为e[y*y]的输出，根据上文分析可知，该结果从时域理解就是功率谱（差一个常数），所以从空域角度称作“谱”其实也是可以被接受的，对应功率（谱）：
因为这是在空域，为了与时域功率谱的名字加以区别，可以称其为空间谱。
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