推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式
一、基本公式
对于一个时间函数的正弦波：
即函数是u＝f(t)，注意u≠sin(t)，f≠sin。
但是它是一个正弦波，故u＝sin(￡)，￡与t存在关系
即：u＝f(t)＝sin(￡)，￡与t存在关系，￡的单位是角度，t的单位是秒。sin只能对“角度”，不能对“秒”。“秒”要转换成“角度”才能sin。
现在来求解￡是什么，发现：
o点，t＝0时，￡＝0
a点，t＝t时，￡＝2π
b点，t＝2t时，￡＝2×2π
即￡与t的关系是 ￡＝（2π/t）×t
故得：u＝f(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/t）t) ！！！！
另，
角速度＝2π/t
角频率ω＝2π/t＝2πf，t为周期，f为频率
故最终：u＝sinωt ！！！！
即t乘以ω后，就变成角度了，ωt是角度，就可以sin了！
二、对于各种提前、延后的情况：
即sin函数里面的都是角度！
时间需要乘以ω转成角度。
角度要转成时间，就要除以ω。
π／2＝ω×t／4，即t／4相当于是π／2。
三、平均值
时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。
1. 正弦波平均值肯定为0。
把角度当作时间来简化计算。
把2π当作周期t，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。
在一个周期t内的平均值，即是∫u×dt／t，即相当于∫u×d￡／2π
用角度时：u=sin￡
则∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π
在0～2π区间作积分：
故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝0
2. 全波整流的平均值：
只要计算0～π即可：
∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366
即平均值＝峰值的0.6366倍。
3. 半波整流的平均值
计算0～π,但周期要按2π算：
∫sin￡d￡／2π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／2π＝0.3183
即平均值＝峰值的0.3183倍。
四、有效值
时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。
1. 正弦波有效值
把角度当作时间来简化计算。
把2π当作周期t，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。
在一个周期t内的有效值，即是计算一个周期t内的热量值相同的等效电压：
一个周期t内的热量值（假设电阻r＝1）：∫u^2×dt，即相当于∫u^2×d￡
用角度时：u=sin￡
则∫u^2×d￡＝∫sin2￡×d￡
在0～2π区间作积分：
故∫sin2￡d￡＝（2π／2－1／4×sin4π）-（0／2－1／4×sin0）＝π
等效电压uo产生的热量值＝uo^2×2π等于∫sin2￡d￡＝π
故：uo^2×2π＝π
最终得：uo＝0.707
即有效值等于峰值的0.707倍
2. 全波整流的有效值：
只要计算0～π即可：
故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2
故：uo^2×π＝π／2
最终得：uo＝0.707
即有效值等于峰值的0.707倍
3. 半波整流的有效值
只要计算0～π，但周期要按2π算：
故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2
故：uo^2×2π＝π／2
最终得：uo＝0.5
即有效值等于峰值的0.5倍
五、汇总
总之，sin函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间来计算。
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现在来求解￡是什么，发现：
o点，t＝0时，￡＝0
a点，t＝t时，￡＝2π
b点，t＝2t时，￡＝2×2π
即￡与t的关系是 ￡＝（2π/t）×t
故得：u＝f(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/t）t) ！！！！
另，
角速度＝2π/t
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故最终：u＝sinωt ！！！！
即t乘以ω后，就变成角度了，ωt是角度，就可以sin了！
二、对于各种提前、延后的情况：
即sin函数里面的都是角度！
时间需要乘以ω转成角度。
角度要转成时间，就要除以ω。
π／2＝ω×t／4，即t／4相当于是π／2。
三、平均值
时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。
1. 正弦波平均值肯定为0。
把角度当作时间来简化计算。
把2π当作周期t，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。
在一个周期t内的平均值，即是∫u×dt／t，即相当于∫u×d￡／2π
用角度时：u=sin￡
则∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π
在0～2π区间作积分：
故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝0
2. 全波整流的平均值：
只要计算0～π即可：
∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366
即平均值＝峰值的0.6366倍。
3. 半波整流的平均值
计算0～π,但周期要按2π算：
∫sin￡d￡／2π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／2π＝0.3183
即平均值＝峰值的0.3183倍。
四、有效值
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1. 正弦波有效值
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一个周期t内的热量值（假设电阻r＝1）：∫u^2×dt，即相当于∫u^2×d￡
用角度时：u=sin￡
则∫u^2×d￡＝∫sin2￡×d￡
在0～2π区间作积分：
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故：uo^2×2π＝π
最终得：uo＝0.707
即有效值等于峰值的0.707倍
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故：uo^2×π＝π／2
最终得：uo＝0.707
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故∫sin2￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2
故：uo^2×2π＝π／2
最终得：uo＝0.5
即有效值等于峰值的0.5倍
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