二进制数值数据的编码与运算算法
二进制数值数据的编码与运算算法
一、原码、反码、补码的定义
1、原码的定义
2、补码的定义
3、反码的定义
4.移码：移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。
①移码的定义：设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则 [x] 移 =2^ n + x -2^ n ≤x ≤ 2^ n
例如： x=＋1011 [x] 移 =11011 符号位“1”表示正号
x=－1011 [x] 移 =00101 符号位“0”表示负号
②移码与补码的关系： [x]移与[x]补的关系是符号位互为反码，
例如： x=＋1011 [x] 移 =11011 [x] 补 =01011
x=－1011 [x] 移 =00101 [x] 补 =10101
③移码运算应注意的问题：
◎对移码运算的结果需要加以修正，修正量为2^n ，即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。
◎移码表示中，0有唯一的编码——1000…00，当出现000…00时（表示－2^n ），属于浮点数下溢。
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[x＋y] 补 = [x] 补 ＋ [y] 补
[x－y] 补 = [x] 补 ＋ [－y] 补
若已知[y] 补 ，求[－y] 补 的方法是：将[y] 补 的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[y] 补 = 101101 [－y] 补 = 010011
2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：
符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢
例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误，正溢出 三、原码一位乘的实现： 设x=0.1101，y=－0. 1011，求x*y
解：符号位单独处理， x 符 ＋ y 符
数值部分用原码进行一位乘，如下图所示：
四、原码一位除的实现：一般用不恢复余数法（加减交替法）
§2.5 浮点运算与浮点运算器
一、浮点数的运算规则
1、浮点加减法的运算步骤
设两个浮点数 x=mx※2ex y=my※2ey
实现x±y要用如下5步完成：
①对阶操作：小阶向大阶看齐
②进行尾数加减运算
③规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是
001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要进行左规或右规处理。
④舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。
⑤判结果的正确性：即检查阶码是否溢出
若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；
若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。
例题：假定x=0 .0110011*2^11 ，y=0.1101101*2^-10 （此处的数均为二进制） 计算x+y；
解：[x] 浮 ： 0 1 010 1100110
[y] 浮 ： 0 0 110 1101101
符号位 阶码 尾数
第一步：求阶差： │δe│=|1010-0110|=0100
第二步：对阶：y的阶码小， y的尾数右移4位
[y] 浮 变为 0 1 010 0000110 1101暂时保存
第三步：尾数相加，采用双符号位的补码运算
00 1100110
+00 0000110
00 1101100
第四步规格化：满足规格化要求
第五步：舍入处理，采用0舍1入法处理
故最终运算结果的浮点数格式为： 0 1 010 1101101，
即x+y=+0. 1101101*2^10
2、浮点乘除法的运算步骤
①阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）
即 [ex+ey]移= [ex]移+ [ey]补
[ex－ey]移= [ex]移+ [－ey]补
②浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理
例题：x=0 .0110011*2^11 ，y=0.1101101*2^-10
求x※y
解：[x] 浮 ： 0 1 010 1100110
[y] 浮 ： 0 0 110 1101101
第一步：阶码相加
[ex+ey]移=[ex]移+[ey]补=1 010+1 110=1 000
1 000为移码表示的0
第二步：原码尾数相乘的结果为：
0 10101101101110
第三步：规格化处理：已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。
第四步：舍入处理：按舍入规则，加1进行修正
所以 x※y= 0.1010111※2^+000
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4.移码：移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。
①移码的定义：设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则 [x] 移 =2^ n + x -2^ n ≤x ≤ 2^ n
例如： x=＋1011 [x] 移 =11011 符号位“1”表示正号
x=－1011 [x] 移 =00101 符号位“0”表示负号
②移码与补码的关系： [x]移与[x]补的关系是符号位互为反码，
例如： x=＋1011 [x] 移 =11011 [x] 补 =01011
x=－1011 [x] 移 =00101 [x] 补 =10101
③移码运算应注意的问题：
◎对移码运算的结果需要加以修正，修正量为2^n ，即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。
◎移码表示中，0有唯一的编码——1000…00，当出现000…00时（表示－2^n ），属于浮点数下溢。
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[x＋y] 补 = [x] 补 ＋ [y] 补
[x－y] 补 = [x] 补 ＋ [－y] 补
若已知[y] 补 ，求[－y] 补 的方法是：将[y] 补 的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。
例如：[y] 补 = 101101 [－y] 补 = 010011
2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：
符号位00 表示正数 11 表示负数
结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢
例题：设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位
用补码求x+y，x－y
[x]补+[y]补=00 1101+11 1001=00 0110
[x－y]补=[x]补+[－y]补=00 1101+00 0111=01 0100
结果错误，正溢出 三、原码一位乘的实现： 设x=0.1101，y=－0. 1011，求x*y
解：符号位单独处理， x 符 ＋ y 符
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四、原码一位除的实现：一般用不恢复余数法（加减交替法）
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①对阶操作：小阶向大阶看齐
②进行尾数加减运算
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解：[x] 浮 ： 0 1 010 1100110
[y] 浮 ： 0 0 110 1101101
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第二步：对阶：y的阶码小， y的尾数右移4位
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00 1100110
+00 0000110
00 1101100
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即 [ex+ey]移= [ex]移+ [ey]补
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1 000为移码表示的0
第二步：原码尾数相乘的结果为：
0 10101101101110
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第四步：舍入处理：按舍入规则，加1进行修正
所以 x※y= 0.1010111※2^+000
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