巴特沃斯之过滤器介绍
过渡介质从通带到阻带的陡峭度为代价，该巴特沃兹滤波器将在输出信号中提供平坦的响应。因此，它也被称为最大平坦幅度滤波器。
滤波器的衰减响应率由电路中的极数决定。极数将取决于电路中电抗元件的数量，即电路中使用的电感器或电容器的数量。
n阶巴特沃兹滤波器的幅度响应如下：
vout/vin=1/√{1+(f/fc)2n}
其中“n”是电路中的极数。随着“n”的值增加，滤波器响应的平坦度也会增加。
“f”=电路的工作频率，“f”c'=电路的中心频率或截止频率。
这些滤波器具有预先确定的考虑因素，其应用主要在较高频率的有源rc电路中。尽管它不能提供尖锐的截止响应，但它通常被认为是许多应用中使用的全能滤波器。
巴特沃斯近似
众所周知，为了满足滤波器响应的考虑并具有接近理想滤波器的近似值，我们需要具有更高阶滤波器。这将增加复杂性。
我们还知道低通和高通电路的输出频率响应和相位响应。理想的滤波器特性是最大平坦度、最大通带增益和最大阻带衰减。
要设计滤波器，需要适当的传递函数。为了满足这些传递函数，在模拟滤波器设计中进行了数学推导，具有许多近似函数。
在这样的设计中，巴特沃斯滤波器是滤波器类型之一。低通巴特沃兹设计考虑主要用于许多功能。稍后我们将讨论归一化低通巴特沃兹滤波多项式。
一阶低通巴特沃兹****滤波器
下面的电路显示了低通巴特沃兹滤波器。
巴特沃兹滤波器所需的通带增益主要取决于“r1”和“rf”的电阻值，滤波器的截止频率将取决于上述电路中的r和c元件。
滤波器的增益为a_max=1+r1/rf
电容器“c”的阻抗由-jx给出c电容器两端的电压为：
vc=–jxc/(r–jxc)*vin.
wherexc=1/(2πfc),capacitivereactance.
极性滤波器的传递函数由下式给出
h(jω)=|vout/vin|∟ø
其中滤波器的增益vout/vin=amax/√{1+(f/fh)²}
andphaseangleø=–tan-1(f/fh)
在较低频率下意味着当工作频率低于截止频率时，通带增益等于最大增益。
vout/vin=amaxi.e.constant.
在较高频率下意味着当工作频率高于截止频率时，增益小于最大增益。
vout/vin
当工作频率等于截止频率时，传递函数等于amax/√2。增益的下降速率为20db/十倍频程或6db/倍频程，在响应斜率中可以表示为-20db/倍频程。
二阶低通巴特沃兹滤波器
连接到一阶巴特沃兹滤波器的附加rc网络为我们提供了二阶低通滤波器。这种二阶低通滤波器的优点是，增益在截止频率之后（在阻带内）滚降得非常快。
在该二阶滤波器中，截止频率值取决于两个rc部分的电阻和电容值。截止频率使用以下公式计算。
fc=1/（2π√r2c2)
增益以40db/十倍频程的速率滚降，该响应以斜率-40db/十倍频程显示。滤波器的传递函数可以给出为
vout/vin=amax/√{1+(f/fc)4}
二阶滤波器传递函数的标准形式如下：
vout/vin=amax/s2+2εωns+ωn2
其中ωn=振荡的固有频率=1/r2c2
ε=阻尼系数=（3–a.max)/2
对于二阶巴特沃兹滤波器，所需的中间项是sqrt（2）=1.414，从归一化巴特沃斯多项式为
3–a.max=√2=1.414
为了获得安全的输出滤波器响应，增益必须a.max是1.586。
高阶巴特沃兹滤波器是通过级联一阶和二阶巴特沃兹滤波器获得的。这可以显示如下：
其中n和bn是预先确定的滤波器系数，用于生成所需的传递函数。
巴特沃兹滤波器的理想频率响应
输出响应的平坦度随着滤波器阶数的增加而增加。下面给出了不同阶次的巴特沃兹滤波器的增益和归一化响应。
归一化低通巴特沃兹滤波多项式
归一化是电压、电流或阻抗除以同一测量单位的数量的过程。此过程用于制作特定值的无量纲范围或水平。
滤波传递函数的分母多项式给了我们巴特沃斯多项式。如果我们考虑半径相等的圆上的s平面，其中心位于原点，那么巴特沃兹滤波器的所有极点都位于该s平面的左半部分。
对于任何阶滤波器，“s”的最高幂的系数应始终为1，对于任何阶滤波器，常量项应始终为1。对于偶数阶滤波器，所有多项式因子本质上都是二次的。对于奇阶滤波器，除一阶滤波器外，所有多项式都是二次的，对于一阶滤波器，多项式为1+s。
系数形式的巴特沃兹多项式如下表所示。
n阶巴特沃兹滤波器的传递函数如下给出
h（jω）=1/√{1+ε²（ω/ωc)2n}
其中n是筛选器的顺序
ω是弧度频率，等于2πf
ε是最大通带增益amax
巴特沃兹低通滤波器示例
我们考虑截止频率为15.9khz、通带增益为1.5、电容c=0.001μf的巴特沃兹低通滤波器。
fc=1/2πrc
15.910³=1/{2πr10.001*10-6}
r=10kω
amax=1.5andassumer1as10kΩ
amax=1+{rf/r1}
rf=5kΩ
三阶巴特沃兹低通滤波器
一阶和二阶巴特沃斯滤波器的级联连接得到三阶巴特沃斯滤波器。三阶巴特沃兹滤波电路如下所示。
对于三阶低通滤波器，给定归一化低通巴特沃兹多项式的多项式为（1+s）（1+s+s²）。此过滤器包含三个未知系数，它们是0一个1一个2.
这些系数值为0=1，a1=2和a2=2。与一阶滤波器相比，该三阶巴特沃兹滤波器的曲线平坦度增加。
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n阶巴特沃兹滤波器的幅度响应如下：
vout/vin=1/√{1+(f/fc)2n}
其中“n”是电路中的极数。随着“n”的值增加，滤波器响应的平坦度也会增加。
“f”=电路的工作频率，“f”c'=电路的中心频率或截止频率。
这些滤波器具有预先确定的考虑因素，其应用主要在较高频率的有源rc电路中。尽管它不能提供尖锐的截止响应，但它通常被认为是许多应用中使用的全能滤波器。
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众所周知，为了满足滤波器响应的考虑并具有接近理想滤波器的近似值，我们需要具有更高阶滤波器。这将增加复杂性。
我们还知道低通和高通电路的输出频率响应和相位响应。理想的滤波器特性是最大平坦度、最大通带增益和最大阻带衰减。
要设计滤波器，需要适当的传递函数。为了满足这些传递函数，在模拟滤波器设计中进行了数学推导，具有许多近似函数。
在这样的设计中，巴特沃斯滤波器是滤波器类型之一。低通巴特沃兹设计考虑主要用于许多功能。稍后我们将讨论归一化低通巴特沃兹滤波多项式。
一阶低通巴特沃兹****滤波器
下面的电路显示了低通巴特沃兹滤波器。
巴特沃兹滤波器所需的通带增益主要取决于“r1”和“rf”的电阻值，滤波器的截止频率将取决于上述电路中的r和c元件。
滤波器的增益为a_max=1+r1/rf
电容器“c”的阻抗由-jx给出c电容器两端的电压为：
vc=–jxc/(r–jxc)*vin.
wherexc=1/(2πfc),capacitivereactance.
极性滤波器的传递函数由下式给出
h(jω)=|vout/vin|∟ø
其中滤波器的增益vout/vin=amax/√{1+(f/fh)²}
andphaseangleø=–tan-1(f/fh)
在较低频率下意味着当工作频率低于截止频率时，通带增益等于最大增益。
vout/vin=amaxi.e.constant.
在较高频率下意味着当工作频率高于截止频率时，增益小于最大增益。
vout/vin
当工作频率等于截止频率时，传递函数等于amax/√2。增益的下降速率为20db/十倍频程或6db/倍频程，在响应斜率中可以表示为-20db/倍频程。
二阶低通巴特沃兹滤波器
连接到一阶巴特沃兹滤波器的附加rc网络为我们提供了二阶低通滤波器。这种二阶低通滤波器的优点是，增益在截止频率之后（在阻带内）滚降得非常快。
在该二阶滤波器中，截止频率值取决于两个rc部分的电阻和电容值。截止频率使用以下公式计算。
fc=1/（2π√r2c2)
增益以40db/十倍频程的速率滚降，该响应以斜率-40db/十倍频程显示。滤波器的传递函数可以给出为
vout/vin=amax/√{1+(f/fc)4}
二阶滤波器传递函数的标准形式如下：
vout/vin=amax/s2+2εωns+ωn2
其中ωn=振荡的固有频率=1/r2c2
ε=阻尼系数=（3–a.max)/2
对于二阶巴特沃兹滤波器，所需的中间项是sqrt（2）=1.414，从归一化巴特沃斯多项式为
3–a.max=√2=1.414
为了获得安全的输出滤波器响应，增益必须a.max是1.586。
高阶巴特沃兹滤波器是通过级联一阶和二阶巴特沃兹滤波器获得的。这可以显示如下：
其中n和bn是预先确定的滤波器系数，用于生成所需的传递函数。
巴特沃兹滤波器的理想频率响应
输出响应的平坦度随着滤波器阶数的增加而增加。下面给出了不同阶次的巴特沃兹滤波器的增益和归一化响应。
归一化低通巴特沃兹滤波多项式
归一化是电压、电流或阻抗除以同一测量单位的数量的过程。此过程用于制作特定值的无量纲范围或水平。
滤波传递函数的分母多项式给了我们巴特沃斯多项式。如果我们考虑半径相等的圆上的s平面，其中心位于原点，那么巴特沃兹滤波器的所有极点都位于该s平面的左半部分。
对于任何阶滤波器，“s”的最高幂的系数应始终为1，对于任何阶滤波器，常量项应始终为1。对于偶数阶滤波器，所有多项式因子本质上都是二次的。对于奇阶滤波器，除一阶滤波器外，所有多项式都是二次的，对于一阶滤波器，多项式为1+s。
系数形式的巴特沃兹多项式如下表所示。
n阶巴特沃兹滤波器的传递函数如下给出
h（jω）=1/√{1+ε²（ω/ωc)2n}
其中n是筛选器的顺序
ω是弧度频率，等于2πf
ε是最大通带增益amax
巴特沃兹低通滤波器示例
我们考虑截止频率为15.9khz、通带增益为1.5、电容c=0.001μf的巴特沃兹低通滤波器。
fc=1/2πrc
15.910³=1/{2πr10.001*10-6}
r=10kω
amax=1.5andassumer1as10kΩ
amax=1+{rf/r1}
rf=5kΩ
三阶巴特沃兹低通滤波器
一阶和二阶巴特沃斯滤波器的级联连接得到三阶巴特沃斯滤波器。三阶巴特沃兹滤波电路如下所示。
对于三阶低通滤波器，给定归一化低通巴特沃兹多项式的多项式为（1+s）（1+s+s²）。此过滤器包含三个未知系数，它们是0一个1一个2.
这些系数值为0=1，a1=2和a2=2。与一阶滤波器相比，该三阶巴特沃兹滤波器的曲线平坦度增加。
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