带平均电压反馈的张弛振荡器详解
1. 传统张弛振荡器
图一
图二
传统两比较器的张弛振荡器如图一，波形如图二，每个周期经历如下过程：
1）相位φ：i1给c充电，vosc上升，超过vhigh后，上面比较器输出从0变1，触发s-r latch翻转
2）相位φ'：i2给c放电，vosc下降，低于vlow后，下面比较器输出从0变1，触发s-r latch翻转，重新进入相位φ
实际上，也可以用单比较器实现张弛振荡器，不过需要在两个相位切换比较器的reference电压。无论怎样，传统张弛振荡器都有如下缺点：
1）从图二可以很明显看出，由于比较器延时td，vosc实际翻转点偏离了vhigh和vlow，从而影响了振荡频率。可以算出，振荡周期=c*(vhigh-vlow)(1/i1+1/i2)+2td+td*(i1/i2+i2/i1)
2）由于沟道长度调制效应，i1和i2随着vosc的变化而变化，并非恒定值，则vosc变化斜率也不是恒定的，间接影响了振荡频率
3）i1和i2的flicker noise影响了phase noise或者jitter
2. 带平均电压反馈的张弛振荡器
2.1 电路结构
基于以上种种缺点，作者决定做两件事情：一是用 电阻替代电流源 ，二是 增加一个反馈环路来抵消比较器延时的影响。 电路结构和波形如图三和图四：
图三
图四
同样分析下每个周期的过程：
1）相位φ：vosc1被reset到0，左侧r-c上端pmos关断，到vosc的传输门关断；右侧r-c上端pmos开启，通过r给c充电，vosc2上升，到vosc的传输门也开启，vosc=vosc2。直到vosc2>vc，右侧比较器输出从1变0，触发s-r latch翻转
2）相位φ'：vosc2被reset到0，右侧r-c上端pmos关断，到vosc的传输门关断；左侧r-c上端pmos开启，通过r给c充电，vosc1从0上升，到vosc的传输门也开启，vosc=vosc1。直到vosc1>vc，左侧比较器输出从1变0，触发s-r latch翻转，重新进入相位φ
分析完张弛振荡器的部分，再来看反馈环路的部分：通过电阻分压产生vref，再用积分器（r1，c1和运放）保证 vosc的平均值等于vref ，积分器输出端作为振荡器控制端vc，调节振荡频率。假设比较器延时td使得振荡周期过长，vosc平均值超过vref，则运放输出vc变低，降低两个比较器阈值，抵消td的影响。当然了，td也不是没有任何要求的，至少应该满足： td ，否则即便把vc减小到0也无法抵消td的影响。另外，这里的fosc指的是φ或者φ'节点的振荡频率，而vosc节点的振荡频率应该是2*fosc。
2.2 推导分析
鉴于我们是通过电阻而不是电流来给电容充电的，那么避免不了等式里会出现指数项。关于vosc节点的振荡周期t的表达式如下：
左边是关于t的线性项，右边则是指数项。为了便于大家理解，作者贴了一张图：
图五
当α小时，线性项和指数项的交点靠左，此时t较小，频率较高；当α大时，线性项和指数项的交点靠右，t较大，频率较低。笔者认为，这张图一方面展示了α或者vref和频率的关系；另一方面，从直观上说明了，当r、c、α这些参数都固定时，上面关于t的等式有唯一解。那么，我们就可以通过调节r、c、α来调节频率了。
最后，可以从频域的角度建立这个系统的等效控制模型如图六：
图六
从电压vc出发，通过vco的系数kvco和积分转化为相位φosc，再通过微分转化为频率fosc，最终通过系数β转回电压vosc,dc。很多其他带vco的闭环系统也可以用同样的方式建模。
3. 后记
这篇文章的主要思路是：为了提高振荡器精度，对振荡节点进行积分，求平均值来控制频率。出于这种思路，可以有很多电路实现的方式，大家可以根据需求进行设计。当然，也可以通过其他方法将频率转化为电压，我会在以后慢慢补充。
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图一
图二
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1）相位φ：i1给c充电，vosc上升，超过vhigh后，上面比较器输出从0变1，触发s-r latch翻转
2）相位φ'：i2给c放电，vosc下降，低于vlow后，下面比较器输出从0变1，触发s-r latch翻转，重新进入相位φ
实际上，也可以用单比较器实现张弛振荡器，不过需要在两个相位切换比较器的reference电压。无论怎样，传统张弛振荡器都有如下缺点：
1）从图二可以很明显看出，由于比较器延时td，vosc实际翻转点偏离了vhigh和vlow，从而影响了振荡频率。可以算出，振荡周期=c*(vhigh-vlow)(1/i1+1/i2)+2td+td*(i1/i2+i2/i1)
2）由于沟道长度调制效应，i1和i2随着vosc的变化而变化，并非恒定值，则vosc变化斜率也不是恒定的，间接影响了振荡频率
3）i1和i2的flicker noise影响了phase noise或者jitter
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图三
图四
同样分析下每个周期的过程：
1）相位φ：vosc1被reset到0，左侧r-c上端pmos关断，到vosc的传输门关断；右侧r-c上端pmos开启，通过r给c充电，vosc2上升，到vosc的传输门也开启，vosc=vosc2。直到vosc2>vc，右侧比较器输出从1变0，触发s-r latch翻转
2）相位φ'：vosc2被reset到0，右侧r-c上端pmos关断，到vosc的传输门关断；左侧r-c上端pmos开启，通过r给c充电，vosc1从0上升，到vosc的传输门也开启，vosc=vosc1。直到vosc1>vc，左侧比较器输出从1变0，触发s-r latch翻转，重新进入相位φ
分析完张弛振荡器的部分，再来看反馈环路的部分：通过电阻分压产生vref，再用积分器（r1，c1和运放）保证 vosc的平均值等于vref ，积分器输出端作为振荡器控制端vc，调节振荡频率。假设比较器延时td使得振荡周期过长，vosc平均值超过vref，则运放输出vc变低，降低两个比较器阈值，抵消td的影响。当然了，td也不是没有任何要求的，至少应该满足： td ，否则即便把vc减小到0也无法抵消td的影响。另外，这里的fosc指的是φ或者φ'节点的振荡频率，而vosc节点的振荡频率应该是2*fosc。
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图五
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最后，可以从频域的角度建立这个系统的等效控制模型如图六：
图六
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