串并联阻抗的等效互换
本期先补充学习一下本科课程中讲到的串并联阻抗的等效互换（虽然很简单，但重点是在工程中怎么用这个知识点），随后以lc-tank pll中的电容阵列为例，介绍如何通过spectre中的sp仿真，得到电容阵列的y参数，并分离出等效并联电容（cp）及并联电阻（rp），进而精确评估lc振荡器的振荡频率。
**1. **串并联阻抗等效互换
电阻r和电抗x的串并联形式如图1所示。
fig1. 电阻r和电抗x的串联形式和并联形式
为了使电路在谐振频率附近能够相互等效，这两个电路的回路阻抗必须相等，即
上式中的虚部和实部分别相等，得
，
xs与xp的电抗特性保持不变，通常xs和xp都是电感或电容。考虑到串联电路的有效品质因子为
，
rs与rp的关系为
p与xs的关系为
结论：串联电路转换为等效并联电路后，电抗xp的性质与xs相同，在qs较高的情况下，其电抗x基本保持不变，而并联电路的电阻rp比串联电路的电阻rs增大了约qs^2^倍。
**2. **应用背景
xilinx在2018 issc会议上发表了一篇应用于rf-data-converter中的pll，其10k~10mhz的积分噪声只有54fs，lc-vco结构如图2所示。
fig2. xilinx 54fs pll中的lc-vco框图
xilinx 54fs pll paper: a 7.4-to-14ghz pll with 54fsrmsjitter in 16nm finfet for integrated rf-data-converter socs
电容阵列（cap array unit）如图2所示，电容阵列权重为1:2:4:8:16:32。该电容阵列的好处是在sel为低电平时使得m1管ab两点电位为高电平，保证m1管drain source到psub的寄生diode处于反偏状态，反偏时m1管的寄生电容较小，这样可以提高lc-vco的振荡频率。
第三章介绍如何通过sp仿真得到电容阵列的cp和rp，进而准确算出lc-vco的振荡频率。
3. y参数仿真
在cadence上搭建图2所示lc-vco的电容阵列（近似），如图3所示：
fig3. lc-vco电容阵列
y参数仿真的test bench如图4所示
fig4. y参数仿真test bench
sp仿真时y参数或z参数的表达式：
y参数：y(s)=1/rp+x(s)
z参数：z(s)=rs+1/x(s)
cp公式:deriv((imag(ypm('sp 1 1)) / 2 / 3.1415926 ))
rp公式:(1 / real(ypm('sp 1 1)))
cs公式:deriv((1 / imag(zpm('sp 1 1)) / 2 / 3.1415926 ))
rs公式:real(zpm('sp 1 1))
通过sp仿真，当v1等于1或0时可分别得到电容阵列的rpon、cpon和rpoff、cpoff（on代表开，off代表关），电容阵列后仿真结果如图5和图6所示
fig5. 电容阵列cpon和rpon后仿结果
fig6. 电容阵列cpoff和rpoff后仿结果
注：lc-vco通常关心电感、可变电容、电容阵列的等效rp和cp而不是rs和cs，这样方便计算振荡频率，rp往往会限制振荡器起振，cp往往决定振荡频率，设计时应仔细考虑。
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，
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，
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y参数仿真的test bench如图4所示
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y参数：y(s)=1/rp+x(s)
z参数：z(s)=rs+1/x(s)
cp公式:deriv((imag(ypm('sp 1 1)) / 2 / 3.1415926 ))
rp公式:(1 / real(ypm('sp 1 1)))
cs公式:deriv((1 / imag(zpm('sp 1 1)) / 2 / 3.1415926 ))
rs公式:real(zpm('sp 1 1))
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fig5. 电容阵列cpon和rpon后仿结果
fig6. 电容阵列cpoff和rpoff后仿结果
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