如何在单片机上实现开根号
单片机开平方的快速算法
因为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。不敢独享，介绍给大家，希望会有些帮助。
1.原理
因为排版的原因，用pow（x，y）表示x的y次幂，用b［0］，b［1］，。..，b［m-1］表示一个序列，
其中［x］为下标。
假设：
b［x］，b［x］都是二进制序列，取值0或1。
m = b［m-1］*pow（2，m-1） + b［m-2］*pow（2，m-2） + 。.. + b［1］*pow（2，1） + b［0］*pow
（2，0）
n = b［n-1］*pow（2，n-1） + b［n-2］*pow（2，n-2） + 。.. + b［1］*pow（2，1） + n［0］*pow
（2，0）
pow（n，2） = m
（1） n的最高位b［n-1］可以根据m的最高位b［m-1］直接求得。
设 m 已知，因为 pow（2， m-1） 《= m 《= pow（2， m），所以 pow（2， （m-1）/2） 《= n 《=
pow（2， m/2）
如果 m 是奇数，设m=2*k+1，
那么 pow（2，k） 《= n 《 pow（2， 1/2+k） 《 pow（2， k+1），
n-1=k， n=k+1=（m+1）/2
如果 m 是偶数，设m=2k，
那么 pow（2，k） 》 n 》= pow（2， k-1/2） 》 pow（2， k-1），
n-1=k-1，n=k=m/2
所以b［n-1］完全由b［m-1］决定。
余数 m［1］ = m - b［n-1］*pow（2， 2*n-2）
（2） n的次高位b［n-2］可以采用试探法来确定。
因为b［n-1］=1，假设b［n-2］=1，则 pow（b［n-1］*pow（2，n-1） + b［n-1］*pow（2，n-2），
2） = b［n-1］*pow（2，2*n-2） + （b［n-1］*pow（2，2*n-2） + b［n-2］*pow（2，2*n-4）），
然后比较余数m［1］是否大于等于 （pow（2，2）*b［n-1］ + b［n-2］） * pow（2，2*n-4）。这种
比较只须根据b［m-1］、b［m-2］、。..、b［2*n-4］便可做出判断，其余低位不做比较。
若 m［1］ 》= （pow（2，2）*b［n-1］ + b［n-2］） * pow（2，2*n-4）， 则假设有效，b［n-2］ =
1；
余数 m［2］ = m［1］ - pow（pow（2，n-1）*b［n-1］ + pow（2，n-2）*b［n-2］， 2） = m［1］ -
（pow（2，2）+1）*pow（2，2*n-4）；
若 m［1］ 《 （pow（2，2）*b［n-1］ + b［n-2］） * pow（2，2*n-4）， 则假设无效，b［n-2］ =
0；余数 m［2］ = m［1］。
（3） 同理，可以从高位到低位逐位求出m的平方根n的各位。
使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把m的各位逐
一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。
2. 流程图
（制作中，稍候再上）
3. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的c语言代码。
-------------------------------------------------------------------------------
-
/****************************************/
/*function： 开根号处理 */
/*入口参数：被开方数，长整型 */
/*出口参数：开方结果，整型 */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16（unsigned long m）
{
unsigned int n， i;
unsigned long tmp， ttp; // 结果、循环计数
if （m == 0） // 被开方数，开方结果也为0
return 0;
n = 0;
tmp = （m 》》 30）; // 获取最高位：b［m-1］
m 《《= 2;
if （tmp 》 1） // 最高位为1
{
n ++; // 结果当前位为1，否则为默认的0
tmp -= n;
}
for （i=15; i》0; i--） // 求剩余的15位
{
n 《《= 1; // 左移一位
tmp 《《= 2;
tmp += （m 》》 30）; // 假设
ttp = n;
ttp = （ttp《《1）+1;
m 《《= 2;
if （tmp 》= ttp） // 假设成立
{
tmp -= ttp;
n ++;
}
}
return n;
}
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其中［x］为下标。
假设：
b［x］，b［x］都是二进制序列，取值0或1。
m = b［m-1］*pow（2，m-1） + b［m-2］*pow（2，m-2） + 。.. + b［1］*pow（2，1） + b［0］*pow
（2，0）
n = b［n-1］*pow（2，n-1） + b［n-2］*pow（2，n-2） + 。.. + b［1］*pow（2，1） + n［0］*pow
（2，0）
pow（n，2） = m
（1） n的最高位b［n-1］可以根据m的最高位b［m-1］直接求得。
设 m 已知，因为 pow（2， m-1） 《= m 《= pow（2， m），所以 pow（2， （m-1）/2） 《= n 《=
pow（2， m/2）
如果 m 是奇数，设m=2*k+1，
那么 pow（2，k） 《= n 《 pow（2， 1/2+k） 《 pow（2， k+1），
n-1=k， n=k+1=（m+1）/2
如果 m 是偶数，设m=2k，
那么 pow（2，k） 》 n 》= pow（2， k-1/2） 》 pow（2， k-1），
n-1=k-1，n=k=m/2
所以b［n-1］完全由b［m-1］决定。
余数 m［1］ = m - b［n-1］*pow（2， 2*n-2）
（2） n的次高位b［n-2］可以采用试探法来确定。
因为b［n-1］=1，假设b［n-2］=1，则 pow（b［n-1］*pow（2，n-1） + b［n-1］*pow（2，n-2），
2） = b［n-1］*pow（2，2*n-2） + （b［n-1］*pow（2，2*n-2） + b［n-2］*pow（2，2*n-4）），
然后比较余数m［1］是否大于等于 （pow（2，2）*b［n-1］ + b［n-2］） * pow（2，2*n-4）。这种
比较只须根据b［m-1］、b［m-2］、。..、b［2*n-4］便可做出判断，其余低位不做比较。
若 m［1］ 》= （pow（2，2）*b［n-1］ + b［n-2］） * pow（2，2*n-4）， 则假设有效，b［n-2］ =
1；
余数 m［2］ = m［1］ - pow（pow（2，n-1）*b［n-1］ + pow（2，n-2）*b［n-2］， 2） = m［1］ -
（pow（2，2）+1）*pow（2，2*n-4）；
若 m［1］ 《 （pow（2，2）*b［n-1］ + b［n-2］） * pow（2，2*n-4）， 则假设无效，b［n-2］ =
0；余数 m［2］ = m［1］。
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/*出口参数：开方结果，整型 */
/****************************************/
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n = 0;
tmp = （m 》》 30）; // 获取最高位：b［m-1］
m 《《= 2;
if （tmp 》 1） // 最高位为1
{
n ++; // 结果当前位为1，否则为默认的0
tmp -= n;
}
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{
n 《《= 1; // 左移一位
tmp 《《= 2;
tmp += （m 》》 30）; // 假设
ttp = n;
ttp = （ttp《《1）+1;
m 《《= 2;
if （tmp 》= ttp） // 假设成立
{
tmp -= ttp;
n ++;
}
}
return n;
}
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