模拟集成电路设计-基本π网络（下）
三电容电路
作为基本π网络的一种，三电容电路是理解模拟电路频响、放大器稳定性、开关-电容放大器、开关-电容积分器、采样保持放大器的基础。从多种不同的角度深刻理解三电容电路是模拟电路设计入门的关键，同时 三电容电路也是各大电路公司面试常用的题型 。
首先，这个电路有三个电容，但是三个电容形成一个环，电路只有两个独立的状态变量（state variable），所以这个电路的传输函数只有两个极点。
零极点的位置如下图，有一个极点在原点，注意有一个零点在右半平面。
假设拉普拉斯域i 1 (s) 为 1，或者时域i 1 (t)为1*δ(t)，我们可以通过拉普拉斯反变换找出v 2 (t)：
我们发现，v 2 (t) 由一个阶跃项和一个指数项组成，指数项会衰减到0，但是阶跃项会一直保持。合在一起的总响应就是一开始有一个反向的过冲（overshoot），然后会以指数衰减的方式稳定到一个固定的终值。
现在我们换一种方式来分析零极点。之前我们讲过，极点是由电路的纯粹的拓扑结构所定的，每一个网络函数都有一样的极点。
三电容电路零极点分析
现在我们来看这个纯粹的电路。假设这个电路是零状态的（relaxed），那么这个电路是线性时不变的（lti），所以c1 c2组成了一个分压器，那么我们可以用v1来表示v 2 。
但是v2由是受控源两端的电压，而这个受控源也受到v1的控制，所以就变成了压控电流源被自己两端电压所控制。 一个被自己电压控制的电流源就是一个电阻 。所以我们可以算出该电阻：
于是，三电容电路变成了下图。这个电路的时间常量很好算了，算出来果然跟我们之前算的一个极点吻合。
另一个极点呢？
我们现在假设c2 c3上的t=0- 时的初始状态为这样：
当t=0时，我们发现整个电路没有电流，c2 c3上的电压一直保持着，这种能够保持初始状态的网络，一定有一个极点在原点。我们可以举一个最简单的例子，一个电容可以保持电压，所以电容的阻抗这个网络函数有一个极点在原点。
这也与我们之前的推导吻合。
现在找零点，我们之前学过，零点是很特别的，是由激励和响应的相对位置决定的。找零点需要抵消响应。现在我们把响应v2 抵消掉，如图：
那么c3没有电流，受控源的电流等于c2的电流，但是c2的电流由可以被直接用v1表示出来，所以：
三电容电路时域分析
然后， 我们从时域的角度把三电容电路的机理再过一次 （非常重要！是深入理解三电容电路并帮你通过面试拿到offer的关键！）。
我们必须要先理解冲激电流的物理意义。单位冲激电流在拉普拉斯域的表示为1。注意这个1是有单位的，单位是库伦，大家可以思考一下为什么电流的拉普拉斯转换的单位是库伦。在时域里，单位冲激函数前面的1的单位也是库伦，因为单位冲激函数的积分为1，但是电流的积分必须是库伦，所以这里的1代表了一个包裹的1库伦电荷，这个1库伦的电荷只需要0时间就可以被输送，因为在t=0的时候，电流无穷大。
所以，单位冲激电流的物理意义就是用0时间通过无穷大的电流向一个高斯面里输送了1库伦电荷。
现在回到三电容电路，在t=0-时，三个电容都没有初始电荷。在t=0时，1库伦的电荷被注入到了红色高斯面里。现在的问题是，会不会有有限量的电荷在t=0时流入绿色高斯面。我们来分析这个情况：
如果有有限量的电荷流入绿色高斯面，那说明受控源gmv1必须是无穷大，因为无穷大的电流才能在0时间内输送有限的电荷，有限的电流在0时间内输送0电荷。
这表示v1是无穷大，但是v1无穷大的话，红色高斯面内必须有无穷大的电荷，这不可能，因为冲激电流所携带的电荷是有限的。所以受控源电流是有限的，受控源在0时间内不输送任何电荷。所以在t=0+时，只有电荷会在c1 c2 c3 中重新分布，1库伦的电荷会在c 1 +c 2 ||c3这个总电容上建立一个电压v 1 (0+)。c2 和c3必须形成一个分压器，因为c2的右极板和c3的上极板的电荷总和为0。这样我们可以推出v 2 (0+)：
化简v 2 (o+)，我们可以得到：
这跟我们之前用拉普拉斯转换得到的结果一致 ！
下面看最终状态，当电路达到最终状态时，所有的状态变量都不再改变了（除非我们有共振或者不稳定的特殊情况，然而这个电路显然没有），这说明受控源gmv1必须为0，v1必须为0。但是当t>0时，红色高斯面内的电荷就不再会改变了，因为独立电流源为0，所以所有1库伦的电荷都必须被“挤压”到c2上，产生电压1/c 2 。因为v 1 (∞)为0，所以我们可以算出v 2 (∞)为-1/c2。
这又跟我们用拉普拉斯转换得到的结果一致 ！
我们之已经分析过，这个电路只有一个非无穷大的时间常量，所以这是一个“准一阶电路”。对于这种电路，只要我们知道在t=0+的初始值和t=∞的终值，中间的行为就是一个一阶指数衰减。所以我们得到与之前一致的响应：
引入非理想效应
接着我们引入一个不理想效应，在受控源处并联一个电导g 3 （有没有觉得下面的电路图很熟悉？对了，就是mosfet小信号电路基本就长这样）。
重新使用基本π型函数列出传输函数：
使用拉普拉斯反变换，我们得到
这里，d0成为了误差项，如果要让d0非常接近于1，gmr3要远大于1+c 1 /c 2 。
我们来从时域角度看这个问题：
如果g3不为0，那么在终值状态时，会有一个循环的电流流过g 3 。所以gmv1不为0，那么v1不为0。这样，并非所有的1库伦电荷都被“挤压”到了c2上，这就是导致误差项的原因。对于模拟电路而言，我们希望精确地放大信号，放大倍数最好是元件之间的比例。假如我们的冲激电流源变成了vsc1δ(t)，或者说c1 采样了一个电压源v s ，c1在t=0时被放置到三电容电路里，如果g3为0，那么响应v2终值将为准确的电容比例-c 2 /c1 v s 。但如果g3不为0，这个比例就会有误差。
三电容电路实际应用
看到这里，大家一定会认为我们会拿mosfet小信号电路作为例子吧？非也，我们当然要找一个更有趣的例子。下面由焦魔为大家讲一个三电容电路的实例：开关电容积分器（scintegrator）。
开关电容积分器是有源梯形滤波器（active ladder filter）的基本组成模块。相比于使用电阻电容有源滤波器（opamp rc filter），开关电容滤波器（sc filter）具有精度高，噪声小，受工艺、电压、温度影响小的优点（原因是我们不再需要电阻这个在芯片上很难做准的元件了）。下图所示为一种基本的开关电容积分器（前向欧拉型，forward euler）的电路。
注：在该电路图中，梯形符号代表跨导放大器（operational transconductance amplifier, ota）。跨导放大器和我们熟悉的运算放大器非常容易混淆，前者使用梯形符号，后者则是三角形符号。运算放大器的模型是一个压控电压源，跨导放大器的模型是一个压控电流源。严格来讲，我们通常所说的集成电路中的运算放大器实际上都是指跨导放大器；而我们做板级电路设计时使用的运放芯片才是真正的运算放大器。
该电路有两个工作相位。在φ1相位，电容c1的电压跟随输入电压vi变化，φ1相位结束时电容c1的电压即为φ2相位开始时的初始电压。φ2相位时电路的小信号模型如下图右侧所示。其中冲激电流源等效代表了c1的初始电压。电路的时序和波形图如下：
电容c1在每个周期的采样值在tk时刻确定，输出电压在每个周期φ2的开始时刻开始变化，先有一个瞬时的前向馈通，然后以指数衰减的形式稳定到最终的电压值，理想情况下电压的变化量由电容c1和c2的比值以及tk时刻采样的输入电压值决定。同时，上一个周期存在c2上的电荷并没有被释放，所以这个电路就变成了一个积分器。如果考虑ota有限的输出电阻，这个电压变化量会有一定的偏差。
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我们发现，v 2 (t) 由一个阶跃项和一个指数项组成，指数项会衰减到0，但是阶跃项会一直保持。合在一起的总响应就是一开始有一个反向的过冲（overshoot），然后会以指数衰减的方式稳定到一个固定的终值。
现在我们换一种方式来分析零极点。之前我们讲过，极点是由电路的纯粹的拓扑结构所定的，每一个网络函数都有一样的极点。
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现在我们来看这个纯粹的电路。假设这个电路是零状态的（relaxed），那么这个电路是线性时不变的（lti），所以c1 c2组成了一个分压器，那么我们可以用v1来表示v 2 。
但是v2由是受控源两端的电压，而这个受控源也受到v1的控制，所以就变成了压控电流源被自己两端电压所控制。 一个被自己电压控制的电流源就是一个电阻 。所以我们可以算出该电阻：
于是，三电容电路变成了下图。这个电路的时间常量很好算了，算出来果然跟我们之前算的一个极点吻合。
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这也与我们之前的推导吻合。
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那么c3没有电流，受控源的电流等于c2的电流，但是c2的电流由可以被直接用v1表示出来，所以：
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然后， 我们从时域的角度把三电容电路的机理再过一次 （非常重要！是深入理解三电容电路并帮你通过面试拿到offer的关键！）。
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所以，单位冲激电流的物理意义就是用0时间通过无穷大的电流向一个高斯面里输送了1库伦电荷。
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这又跟我们用拉普拉斯转换得到的结果一致 ！
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引入非理想效应
接着我们引入一个不理想效应，在受控源处并联一个电导g 3 （有没有觉得下面的电路图很熟悉？对了，就是mosfet小信号电路基本就长这样）。
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使用拉普拉斯反变换，我们得到
这里，d0成为了误差项，如果要让d0非常接近于1，gmr3要远大于1+c 1 /c 2 。
我们来从时域角度看这个问题：
如果g3不为0，那么在终值状态时，会有一个循环的电流流过g 3 。所以gmv1不为0，那么v1不为0。这样，并非所有的1库伦电荷都被“挤压”到了c2上，这就是导致误差项的原因。对于模拟电路而言，我们希望精确地放大信号，放大倍数最好是元件之间的比例。假如我们的冲激电流源变成了vsc1δ(t)，或者说c1 采样了一个电压源v s ，c1在t=0时被放置到三电容电路里，如果g3为0，那么响应v2终值将为准确的电容比例-c 2 /c1 v s 。但如果g3不为0，这个比例就会有误差。
三电容电路实际应用
看到这里，大家一定会认为我们会拿mosfet小信号电路作为例子吧？非也，我们当然要找一个更有趣的例子。下面由焦魔为大家讲一个三电容电路的实例：开关电容积分器（scintegrator）。
开关电容积分器是有源梯形滤波器（active ladder filter）的基本组成模块。相比于使用电阻电容有源滤波器（opamp rc filter），开关电容滤波器（sc filter）具有精度高，噪声小，受工艺、电压、温度影响小的优点（原因是我们不再需要电阻这个在芯片上很难做准的元件了）。下图所示为一种基本的开关电容积分器（前向欧拉型，forward euler）的电路。
注：在该电路图中，梯形符号代表跨导放大器（operational transconductance amplifier, ota）。跨导放大器和我们熟悉的运算放大器非常容易混淆，前者使用梯形符号，后者则是三角形符号。运算放大器的模型是一个压控电压源，跨导放大器的模型是一个压控电流源。严格来讲，我们通常所说的集成电路中的运算放大器实际上都是指跨导放大器；而我们做板级电路设计时使用的运放芯片才是真正的运算放大器。
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