关于贪心算法详解
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。
当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。
如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
基本思路：
1. 建立数学模型来描述问题。
⒉.把求解的问题分成若干个子问题。
⒊.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
⒋.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。
实现该算法的过程：
⒈.从问题的某一初始解出发;
2. while 能朝给定总目标前进一步 do
3.求出可行解的一个解元素;
4.由所有解元素组合成问题的一个可行解。从问题的某一初始解出发
背包问题
有一个背包，最多能承载150斤的重量，现在有7个物品，重量分别为[35, 30, 60, 50, 40, 10, 25]，它们的价值分别为[10, 40, 30, 50, 35, 40, 30]，应该如何选择才能使得我们的背包背走最多价值的物品？
把物品一个个的往包里装，要求装入包中的物品总价值最大，要让总价值最大，就可以想到怎么放一个个的物品才能让总的价值最大，因此可以想到如下三种选择物品的方法，即可能的局部最优解：
1：每次都选择价值最高的往包里放。
2：每次都选择重量最小的往包里放。
3：每次都选择单位重量价值最高的往包里放。
4：选择价值最高的，按照制订的规则（价值）进行计算，顺序是：4 2 6 5 。
最终的总重量是：130；最终的总价值是：165。
2：选择重量最小的，按照制订的规则（重量）进行计算，顺序是：6 7 2 1 5 。
最终的总重量是：140；最终的总价值是：155。可以看到，重量优先是没有价值优先的策略更好。
3:选择单位密度价值最大的，按照制订的规则（单位密度）进行计算，顺序是：6 2 7 4 1。
最终的总重量是：150；最终的总价值是：170。
可以看到，单位密度这个策略比之前的价值策略和重量策略都要好。
单源最大路径问题
给定带权有向图g =(v,e)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定v中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
其基本思想是，设置顶点集合s并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合s当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时，s中仅含有源。设u是g的某一个顶点，把从源到u且中间只经过s中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
dijkstra算法每次从v-s中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到s中，同时对数组dist作必要的修改。一旦s包含了所有v中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
例如，对下图中的有向图，应用dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
dijkstra算法的迭代过程：
算法的正确性和计算复杂性
(1)贪心选择性质
(2)最优子结构性质
(3)计算复杂性
对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么dijkstra算法的主循环体需要o(n)时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要o(n)时间。算法的其余部分所需要时间不超过o(n^2)。
代码实现(来自于第四个参考链接)：
#include #include #include using namespace std ;class bbshortestdijkstra{public: bbshortestdijkstra (const vector& vngraph) :m_cnmaxint (numeric_limits::max()) { m_vngraph = vngraph ; m_stcount = vngraph.size () ; m_vndist.resize (m_stcount) ; for (size_t i = 0; i < m_stcount; ++ i) { m_vndist[i].resize (m_stcount) ; } } void dodijkatra (){ int nminindex = 0 ; int nminvalue = m_cnmaxint ; vector vbflag (m_stcount, false) ; for (size_t i = 0; i m_vngraph[0][i]) { nminvalue = m_vngraph[0][i] ; nminindex = i ; } } vbflag[0] = true ; size_t k = 1 ; while (k < m_stcount) { vbflag[nminindex] = true ; for (size_t j = 0; j < m_stcount ; ++ j) { // 没有被选择 if (!vbflag[j] && m_vngraph[nminindex][j] != m_cnmaxint ) { if (m_vngraph[nminindex][j] + nminvalue < m_vndist[k-1][j]) { m_vndist[k][j] = m_vngraph[nminindex][j] + nminvalue ; } else { m_vndist[k][j] = m_vndist[k-1][j] ; } } else { m_vndist[k][j] = m_vndist[k-1][j] ; } } nminvalue = m_cnmaxint ; for (size_t j = 0; j m_vndist[k][j])) { nminvalue = m_vndist[k][j] ; nminindex = j ; } } ++ k ; } for (int i = 0; i < m_stcount; ++ i) { for (int j = 0; j < m_stcount; ++ j) { if (m_vndist[i][j] == m_cnmaxint) { cout << maxint ; } else { cout << m_vndist[i][j] << ; } } cout << endl ; } }private: vector m_vngraph ; vector m_vndist ; size_t m_stcount ; const int m_cnmaxint ;} ;int main(){ const int cncount = 5 ; vector vngraph (cncount) ; for (int i = 0; i < cncount; ++ i) { vngraph[i].resize (cncount, numeric_limits::max()) ; } vngraph[0][1] = 10 ; vngraph[0][3] = 30 ; vngraph[0][4] = 100 ; vngraph[1][2] = 50 ; vngraph[2][4] = 10 ; vngraph[3][2] = 20 ; vngraph[3][4] = 60 ; bbshortestdijkstra bbs (vngraph) ; bbs.dodijkatra () ;}
贪心算法三个核心问题
第一个问题：为什么不直接求全局最优解?
1.原问题复杂度过高；
2.求全局最优解的数学模型难以建立；
3.求全局最优解的计算量过大；
4.没有太大必要一定要求出全局最优解，“比较优”就可以。
第二个问题：如何把原问题分解成子问题？
1、按串行任务分
时间串行的任务，按子任务来分解，即每一步都是在前一步的基础上再选择当前的最优解。
2、按规模递减分
规模较大的复杂问题，可以借助递归思想（见第2课），分解成一个规模小一点点的问题，循环解决，当最后一步的求解完成后就得到了所谓的“全局最优解”。
3、按并行任务分
这种问题的任务不分先后，可能是并行的，可以分别求解后，再按一定的规则（比如某种配比公式）将其组合后得到最终解。
第三个问题：如何知道贪心算法结果逼近了全局最优值？
这个问题是不能量化判断的，正是因为全局最优值不能够知道，所以才求的局部最优值。追求过程需要考虑以下几个问题:
1.成本
耗费多少资源，花掉多少编程时间。
2.速度
计算量是否过大，计算速度能否满足要求。
3.价值
得到了最优解与次优解是否真的有那么大的差别，还是说差别可以忽略。
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如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
基本思路：
1. 建立数学模型来描述问题。
⒉.把求解的问题分成若干个子问题。
⒊.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
⒋.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。
实现该算法的过程：
⒈.从问题的某一初始解出发;
2. while 能朝给定总目标前进一步 do
3.求出可行解的一个解元素;
4.由所有解元素组合成问题的一个可行解。从问题的某一初始解出发
背包问题
有一个背包，最多能承载150斤的重量，现在有7个物品，重量分别为[35, 30, 60, 50, 40, 10, 25]，它们的价值分别为[10, 40, 30, 50, 35, 40, 30]，应该如何选择才能使得我们的背包背走最多价值的物品？
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1：每次都选择价值最高的往包里放。
2：每次都选择重量最小的往包里放。
3：每次都选择单位重量价值最高的往包里放。
4：选择价值最高的，按照制订的规则（价值）进行计算，顺序是：4 2 6 5 。
最终的总重量是：130；最终的总价值是：165。
2：选择重量最小的，按照制订的规则（重量）进行计算，顺序是：6 7 2 1 5 。
最终的总重量是：140；最终的总价值是：155。可以看到，重量优先是没有价值优先的策略更好。
3:选择单位密度价值最大的，按照制订的规则（单位密度）进行计算，顺序是：6 2 7 4 1。
最终的总重量是：150；最终的总价值是：170。
可以看到，单位密度这个策略比之前的价值策略和重量策略都要好。
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初始时，s中仅含有源。设u是g的某一个顶点，把从源到u且中间只经过s中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
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例如，对下图中的有向图，应用dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
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(2)最优子结构性质
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1.原问题复杂度过高；
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3、按并行任务分
这种问题的任务不分先后，可能是并行的，可以分别求解后，再按一定的规则（比如某种配比公式）将其组合后得到最终解。
第三个问题：如何知道贪心算法结果逼近了全局最优值？
这个问题是不能量化判断的，正是因为全局最优值不能够知道，所以才求的局部最优值。追求过程需要考虑以下几个问题:
1.成本
耗费多少资源，花掉多少编程时间。
2.速度
计算量是否过大，计算速度能否满足要求。
3.价值
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