品质因数Q0和带宽BW的联系
关于q0和3db带宽的关系，有同学留言求证，今天我们唠叨唠叨这个。
单纯看符号的字面意思，我们很难将品质因数q0和带宽bw联系起来，尤其是还有中心频率f0. 今天我们一起来解一下这个问题。q0到底是怎么和频率/带宽扯上关系的呢？
这个还要从q0的最初定义来解答。
q0是描述一个谐振回路品质好坏的一个参量，其定义为一个周期内储能和平均耗能的比值。这个谐振回路既可以是rlc串联谐振回路，也可以是rlc并联谐振回路。
我们以一个rlc串联谐振回路为例。
这个电路在电阻r上的传输函数h(w)的幅度值如下：
在谐振频率点w0处，传输函数h(w)的幅度最大等于1，
h(ω)的幅度值随着电阻r的不同，响应曲线如下图所示：
上图那个幅度值最大的点对应的频率就是rlc串联谐振电路的谐振频率。观察上图，确实发现3db带宽和r有某种特殊的关系，r越大，3db带宽越大。
在rlc串联谐振回路中，单位周期内消耗的功率就是电阻r消耗的功率p(w)。
p(w)是一个关于频率的函数，当在谐振点处，电阻消耗的功率p（w）最大：
我们做出传输函数h(w)的功率传输曲线，如下图。看看3db带宽是怎么来的？
3db带宽，也就是当功率下降一半的时候的带宽。这个3db来自于10log(1/2)。当功率下降一半，也就是电压下降1/根号（2）时。这时候有：
求解上式就可以得到w的两个根，分别是w1和w2
这时候，3db带宽就可以得到了：
bw 3db=w2-w1=r/l
记住了，3db带宽就和电阻r和电感l联系起来了。这个就为品质因数q0和带宽的关系埋下了伏笔。
我们接着看rlc串联谐振回路的q0的计算。在rlc谐振回路的总储能等于电感和电容储能的和：
在给定电流和电压情况下，总储能es可以表示为：
在谐振点w0处，
而单位周期内的平均耗能ed就可以表示为：
那这个品质因数q0的公式就可以表示为：
我们只取前面q0和电感的关系：
把3db带宽的公式带入就可以得到：
当然角频率w和频率f的关系带入就得到了这个关系，这个q值和频率的关系，对于实际电路的测试有很大的用处，大大简化了q0的测试。
到这里，大家是不是就清楚了。
同理用rlc并联谐振回路也能得到同样的结果。
表格给出了lc谐振回路最基本的特性公式。不用记住，有个印象就行。
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h(ω)的幅度值随着电阻r的不同，响应曲线如下图所示：
上图那个幅度值最大的点对应的频率就是rlc串联谐振电路的谐振频率。观察上图，确实发现3db带宽和r有某种特殊的关系，r越大，3db带宽越大。
在rlc串联谐振回路中，单位周期内消耗的功率就是电阻r消耗的功率p(w)。
p(w)是一个关于频率的函数，当在谐振点处，电阻消耗的功率p（w）最大：
我们做出传输函数h(w)的功率传输曲线，如下图。看看3db带宽是怎么来的？
3db带宽，也就是当功率下降一半的时候的带宽。这个3db来自于10log(1/2)。当功率下降一半，也就是电压下降1/根号（2）时。这时候有：
求解上式就可以得到w的两个根，分别是w1和w2
这时候，3db带宽就可以得到了：
bw 3db=w2-w1=r/l
记住了，3db带宽就和电阻r和电感l联系起来了。这个就为品质因数q0和带宽的关系埋下了伏笔。
我们接着看rlc串联谐振回路的q0的计算。在rlc谐振回路的总储能等于电感和电容储能的和：
在给定电流和电压情况下，总储能es可以表示为：
在谐振点w0处，
而单位周期内的平均耗能ed就可以表示为：
那这个品质因数q0的公式就可以表示为：
我们只取前面q0和电感的关系：
把3db带宽的公式带入就可以得到：
当然角频率w和频率f的关系带入就得到了这个关系，这个q值和频率的关系，对于实际电路的测试有很大的用处，大大简化了q0的测试。
到这里，大家是不是就清楚了。
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