绘制根轨迹的数学依据及其性质
绘制根轨迹的数学依据及其性质
4.2.1.的二种表达式
⒈系统方块图：如图4-3 所示。
图4-3
2.:
注：
(1)．………开环放大系数,增益,传递系数。
……时间常数。
………开环零极点形式的传递系数。
……开环零点、极点的负值。
(2).与与关系：
4.2.2 特征方程d(s)=0 的几种表达形式：
⒈.闭环传递函数的几种形式：
⑴.
⑵.
⒉ 的几种形式：
⑴.
⑵.
⑶.
⑷.
⑸.(k=0,1,2,3,……)
⑹.
4.2.3绘制根迹的数学依据：
⒈. 幅角条件,幅值条件--幅相条件:
⑴.所谓幅角条件(相角条件):
①.(k=0,1,2,3,……) （4-1）
②. 幅角条件是绘制根迹的根本依据
--根平面上凡是满足幅角条件的点的全体就是根迹。
③.可利用幅角条件画根迹。
⑵.所谓幅值条件:
①.(4-2)
②.根迹上凡是满足幅值条件的点,就是相应k值的闭环极点sb,即的根。
③.可利用幅值条件确定相应于sb的k。
⑶. 幅角条件与幅值条件不同点:
①幅角条件与k无关。
②.据幅值条件可知,幅值改变，相应于k在改变。
⑷.例
仍以图4-1所示的系统为例,用幅角条件来求 由0→+∞变化时根轨迹,并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻尼比ξ等于0.707时的k值。
对于上述给定系统,其幅角条件为：
(k=0,1,2,3,……)
其幅值条件为：
综上可知,在作根轨迹图时,只需应用幅角条件,即可画出根的轨迹,然后利用幅值条件可求出根轨迹上某一点的相应的k值。因为在图纸上绘制根轨迹的过程中,需要对幅角和幅值进行图解测量,故必须将横坐标轴与纵坐标轴按同样的尺度进行等分。
⒉.绘制根轨迹步骤如下:
⑴.在s平面上画出开环极点:
有两个开环极点，以×表示。
见图4-4。
图4-4
⑵.确定实轴上的根轨迹:
如果试验点位于正实轴上，则这表明不满足幅角条件。因此，在正实轴上没有根轨迹。 若将试验点选在负实轴上,之间。
这时因此
即满足幅角条件。
因此, 在负实轴上之间这一段是根轨迹一部分。
如果把试验点选在负实轴上之间。这时 此显然不满足幅角条件。故在负实轴上从之间这一段,不是根轨迹一部分。
综上,实轴上的根轨迹，存在于负实轴上之间。
⑶.确定s平面上,除了实轴以外的其它根轨迹:
在s平面上任取一点 (见图4-4),令╱s =λ1, ╱s+p =λ2 。如果 位于根轨迹上，则应满足幅角条件，即λ1＋λ2＝180l。显然，只有位于坐标原点之间线段的垂直平分线上的点,才能满足幅角条件，因此s平面上,该垂直平分线也是根轨迹的一部分。
综上所述，根据幅角条件求得并画出当k由0→+∞变化时根轨迹与图 4-2按公式直接计算根的值所画出的根轨迹是完全一样的，且前者不受系统方程阶次的限制，明显优于后者。
⑷.确定一对阻尼比ξ为0.707的共轭复数闭环极点:
这对闭环极点，位于通过原点且与负实轴夹角为 的直线上.由图可以求出,当ξ=0.707时, 这一对闭环极点为
与这对极点相应的 值,可用幅值条件确定为
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2.:
注：
(1)．………开环放大系数,增益,传递系数。
……时间常数。
………开环零极点形式的传递系数。
……开环零点、极点的负值。
(2).与与关系：
4.2.2 特征方程d(s)=0 的几种表达形式：
⒈.闭环传递函数的几种形式：
⑴.
⑵.
⒉ 的几种形式：
⑴.
⑵.
⑶.
⑷.
⑸.(k=0,1,2,3,……)
⑹.
4.2.3绘制根迹的数学依据：
⒈. 幅角条件,幅值条件--幅相条件:
⑴.所谓幅角条件(相角条件):
①.(k=0,1,2,3,……) （4-1）
②. 幅角条件是绘制根迹的根本依据
--根平面上凡是满足幅角条件的点的全体就是根迹。
③.可利用幅角条件画根迹。
⑵.所谓幅值条件:
①.(4-2)
②.根迹上凡是满足幅值条件的点,就是相应k值的闭环极点sb,即的根。
③.可利用幅值条件确定相应于sb的k。
⑶. 幅角条件与幅值条件不同点:
①幅角条件与k无关。
②.据幅值条件可知,幅值改变，相应于k在改变。
⑷.例
仍以图4-1所示的系统为例,用幅角条件来求 由0→+∞变化时根轨迹,并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻尼比ξ等于0.707时的k值。
对于上述给定系统,其幅角条件为：
(k=0,1,2,3,……)
其幅值条件为：
综上可知,在作根轨迹图时,只需应用幅角条件,即可画出根的轨迹,然后利用幅值条件可求出根轨迹上某一点的相应的k值。因为在图纸上绘制根轨迹的过程中,需要对幅角和幅值进行图解测量,故必须将横坐标轴与纵坐标轴按同样的尺度进行等分。
⒉.绘制根轨迹步骤如下:
⑴.在s平面上画出开环极点:
有两个开环极点，以×表示。
见图4-4。
图4-4
⑵.确定实轴上的根轨迹:
如果试验点位于正实轴上，则这表明不满足幅角条件。因此，在正实轴上没有根轨迹。 若将试验点选在负实轴上,之间。
这时因此
即满足幅角条件。
因此, 在负实轴上之间这一段是根轨迹一部分。
如果把试验点选在负实轴上之间。这时 此显然不满足幅角条件。故在负实轴上从之间这一段,不是根轨迹一部分。
综上,实轴上的根轨迹，存在于负实轴上之间。
⑶.确定s平面上,除了实轴以外的其它根轨迹:
在s平面上任取一点 (见图4-4),令╱s =λ1, ╱s+p =λ2 。如果 位于根轨迹上，则应满足幅角条件，即λ1＋λ2＝180l。显然，只有位于坐标原点之间线段的垂直平分线上的点,才能满足幅角条件，因此s平面上,该垂直平分线也是根轨迹的一部分。
综上所述，根据幅角条件求得并画出当k由0→+∞变化时根轨迹与图 4-2按公式直接计算根的值所画出的根轨迹是完全一样的，且前者不受系统方程阶次的限制，明显优于后者。
⑷.确定一对阻尼比ξ为0.707的共轭复数闭环极点:
这对闭环极点，位于通过原点且与负实轴夹角为 的直线上.由图可以求出,当ξ=0.707时, 这一对闭环极点为
与这对极点相应的 值,可用幅值条件确定为
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