详解S型加减速曲线规划算法总结
做过运动控制的小伙伴都知道，s曲线很重要，下面一张动图对比一下，你就知道s曲线的好处：
下面分享一下s曲线的内容：
1 前言
s形加减速的最重要特征是该算法的加速度/减速度曲线的形状如字母 s。s形加减速的速度曲线平滑 ，从而能够减少对控制过程中的冲击，并使插补过程具有柔性 ［^1］。由于t形曲线在加速到匀速的切换过程中，实际中存在较大过冲，因此这里对比一下t曲线和7段s曲线的实际过程；
t形：加速 -》 匀速 -》 减速
s形：加加速（） -》 匀加速（） -》 减加速（）-》 匀速（）-》 加减速（）-》 匀减速（）-》 减减速（）
上文在加速这块的文字描述可能读起来起来有点绕，下面看图：
2 理论
分析由于s曲线在加减速的过程中，其加速度是变化的，因此这里引入了新的一个变量 ，即加加速度。
因此对应上图的7段s速度曲线中，规定最大加速为，最小加速度为，则加速度的关系；
加加速（）：逐渐增大；
此时
匀加速（）：达到最大；
此时
减加速（）：逐渐减小；
此时
匀速（）：不变化；
此时
加减速（）： 逐渐增大；
此时
匀减速（）： 达到最大；
此时
减减速（）： 逐渐减小；
此时
“为加速度的绝对值；其中
所以通常需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度，就可以可确定整个运行过程［^2］ ；
最大速度：反映了系统的最大运行能力 ；
最大加速度：反映了系统的最大加减速能力 ；
加加速度：反映了系统的柔性；
柔性越大，过冲越大，运行时间越短；
柔性越小，过冲越小，运行时间越长；
2.1 加速度时间关系方程
整个加速度变化的过程具体如下图所示；
再次强调一下 和 的关系，另外这里再引入变量 ，
比如，当前时刻 ，即 位于区间 ，则如果将 作为初始点，则 为 相对于时刻的时间，则有：
下面可以得到加速度与时间的关系函数，具体如下：
根据 ① 式，将 代入 ② 式可以得到：
上式中 ；
2.2 速度时间关系方程
速度和加速度满足 ；加加速度和速度的关系满足：
结合加速度时间关系并结合② 式可以得到速度曲线关系，具体关系如下图所示；
进一步简化可以得到：
2.3 位移时间关系方程
位移 和加加速度 直接满足关系如下：
简单推导
因此可以得到：
“积分忘的差不多了，回去再复习一下；
最终位移的方程如下所示；
3 程序实现的思路
正如前面所提到的，s曲线规划需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度，这样就可以确定这个运行过程。这里有一个隐性的条件，就是在运行的过程中可以达到最大速度，这样才是完整的7段s曲线，另外这里还有一些中间参数：
，因此有 ；
加加速度 ；
；
，用户给定整个运行过程所需要的时间；
但是通常实际过程中关心，，；
3.1 推导
理想状态假设存在 和，则推导过程如下：
因此可以得到：
简化之后得到：
根据②式可知：
最终得到：
下面可以根据位移时间关系方程进行离散化的程序编写。
假设可以到达最大速度，且用户给定了整个过程运行时间，则 的推导如下：
简化上式可以得到：
根据 代入上式可得：
3.2 的推导
这时候还剩下需要计算，通过已量 可以推导出来；首先位移之间满足关系如下：
其中加速区长度为 ；其中减速区长度为 ；
具体推导；［^2］前面提到过，，因此在=0的时候，则
这里简单推导一下：
根据④，⑤最终简化得到：
“：为运行的总时间：为运行的总路程
详细推导过程如下：
因为：
因为：
所以，简化得到：
所以可以得到：
因为：
将其代入可以得到：
简化得到最终结果：
4 matlab
程序matlab程序亲测可以运行，做了简单的修改，因为这里直接给定了整个运行过程的时间，所以需要在scurvepara函数中求出加加速度 的值，路程为 1：
scurvepara
function ［tf1，v，a，j，t］ = scurvepara（tf， v， a）
t = zeros（1，7）;
for i=1:1000
% 加加速度 j
j = （a^2 * v） / （tf*v*a - v^2 - a）;
% tk
t（1） = a / j;
t（2） = v / a - a / j; % t2 = v / a - t1;
t（3） = t（1）;
t（4） = tf - 2 * a / j - 2 * v / a; % t4 = tf - 4*t1 - 2*t2;
t（5） = t（3）;
t（6） = t（2）;
t（7） = t（1）;
% 根据t2和t4判断s曲线的类型
if t（2） 《 -1e-6
a = sqrt（v*j）;
display（‘t2《0’）;
elseif t（4） 《 -1e-6
v = tf*a/2 - a*a/j;
display（‘t4《0’）;
elseif j 《 -1e-6
tf = （v^2 + a） / （v*a） + 1e-1;
display（‘j《0’）;
else
break;
end
end
a = a;
v = v;
tf1 = tf;
end
scurvescaling
function s = scurvescaling（t，v，a，j，t，tf）
% j = （a^2 * v） / （tf*v*a - v^2 - a）;
% t（1） = a / j;
% t（2） = v / a - a / j; % t（2） = v / a - t（1）;
% t（3） = t（1）;
% t（4） = tf - 2 * a / j - 2 * v / a; % t（4） = tf - 4*t（1） - 2*t（2）;
% t（5） = t（3）;
% t（6） = t（2）;
% t（7） = t（1）;
%%
if （t 》= 0 && t 《= t（1））
s = 1/6 * j * t^3;
elseif （ t 》 t（1） && t 《= t（1）+t（2） ）
dt = t - t（1）;
s = 1/2 * a * dt^2 + a^2/（2*j） * dt.。.
+ a^3/（6*j^2）;
elseif （ t 》 t（1）+t（2） && t 《= t（1）+t（2）+t（3） ）
dt = t - t（1） - t（2）;
s = -1/6*j*dt^3 + 1/2*a*dt^2 + （a*t（2） + a^2/（2*j））*dt 。..
+ 1/2*a*t（2）^2 + a^2/（2*j）*t（2） + a^3/（6*j^2）;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4） ）
dt = t - t（1） - t（2） - t（3）;
s = v*dt 。..
+ （-1/6*j*t（3）^3） + 1/2*a*t（3）^2 + （a*t（2） + a^2/（2*j））*t（3） + 1/2*a*t（2）^2 + a^2/（2*j）*t（2） + a^3/（6*j^2）;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3）+t（4） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5） ）
t_temp = tf - t;
dt = t_temp - t（1） - t（2）;
s = -1/6*j*dt^3 + 1/2*a*dt^2 + （a*t（2） + a^2/（2*j））*dt 。..
+ 1/2*a*t（2）^2 + a^2/（2*j）*t（2） + a^3/（6*j^2）;
s = 1 - s;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5）+t（6） ）
t_temp = tf - t;
dt = t_temp - t（1）;
s = 1/2 * a * dt^2 + a^2/（2*j） * dt + a^3/（6*j^2）;
s = 1 - s;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5）+t（6） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5）+t（6）+t（7） + 1e5 ）
t_temp = tf - t;
s = 1/6 * j * t_temp^3;
s = 1 - s;
end
end
测试的代码如下：test
%%
n = 500;
thetastart = 0; %起始位置
thetaend = 90; %最终位置
vtheta = 90; %1 速度
atheta = 135; %1.5 加速度
tf = 1.8; % 总行程时间
v = vtheta/（thetaend - thetastart）;
a = atheta/（thetaend - thetastart）;
v = abs（v）;
a = abs（a）;
theta = zeros（1，n）;
s = zeros（1，n）;
sd = zeros（1，n）;
sdd = zeros（1，n）;
［tf，v，a，j，t］ = scurvepara（tf， v， a）;
display（j， ‘j：’）;
display（tf，‘tf：’）;
display（v，‘v：’）;
display（a， ‘da：’）;
display（tf-tf，‘dtf：’）;
display（v-v，‘dv：’）;
display（a-a， ‘da：’）;
t=linspace（0，tf，n）;
dt = t（2） - t（1）;
for i = 1:n
if i == n
a = a;
end
s（i） = scurvescaling（t（i），v，a，j，t，tf）;
theta（i） = thetastart + s（i） * （thetaend - thetastart）;
if i》1
sd（i-1） = （s（i） - s（i-1）） / dt;
end
if i》2
sdd（i-2） = （sd（i-1） - sd（i-2）） / dt;
end
end
subplot（3，1，1）;
legend（‘theta’）;
xlabel（‘t’）;
subplot（3，1，1）;
plot（t，s）
legend（‘位移’）;
xlabel（‘t’）;
title（‘位置曲线’）;
subplot（3，1，2）;
plot（t，sd）;
legend（‘速度’）;
xlabel（‘t’）;
title（‘速度曲线’）;
subplot（3，1，3）;
plot（t，sdd）;
legend（‘加速度’）;
xlabel（‘t’）;
title（‘加速度曲线’）;
看到最终仿真结果和预期相同；
最后再看一下t形和s形速度曲线规划的效果对比：
5 总结
本文只对7段的s曲线规划做了详细的推导和介绍，matlab中的程序对于4段和5段都有做实现，很多是在理想情况下进行推导的，初始速度默认为0，终止速度也为0，并且假设加减速区域相互对称。最终运行结果符合预期效果。
“文中难免有错误和纰漏之处，请大佬们不吝赐教创作不易，如果本文帮到了您；
6 参考
［^1］：陈友东 魏洪兴 王琦魁。数控系统的直线和 s 形加减速离散算法［d］。北京：中国机械工程，2010.
［^2］：郭新贵 李从心 s 曲线加减速算法研究 上海交通大学国家模具 cad 工程研究中心 ， 200030
物联网智能公寓设备_智能家居网关
持续创新夯实云网算力底座，软硬协同加速数智化转型
Saildrone推出72英尺长的自动驾驶海底测绘船
物联网怎样帮助患者恢复
电子分频前后级放大器后级部分（一）
详解S型加减速曲线规划算法总结
柔性上料 柔性振盘anyfeeder 弗莱克斯
RTX 40 SUPER最终规格实锤！好像不用抽奖了
六要素超声波微气象仪的详细介绍
Faraday Future称在美工厂获得临时办公许可 贾跃亭陪同考察
多光子显微镜成像技术：用于体内神经元成像的多种技术
浙江联通携手中兴通讯成功完成了5G新型智能城域网试点
联想发布哪两大智能场景解决方案？
高压跌落式熔断器结构
高频使用的几种设计模式
专家面对面研讨会合肥站-孟昊：问题解答和产品的现场调试（2）
工控项目调试全过程分享值得收藏
北斗卫星和低轨通信卫星技术对比
这几种智能门禁系统方案，一点你就明白
小米6发布会提前看：小米6和小米Note2都是炮灰，小米MIX2才是发布会的主角？
下面分享一下s曲线的内容：
1 前言
s形加减速的最重要特征是该算法的加速度/减速度曲线的形状如字母 s。s形加减速的速度曲线平滑 ，从而能够减少对控制过程中的冲击，并使插补过程具有柔性 ［^1］。由于t形曲线在加速到匀速的切换过程中，实际中存在较大过冲，因此这里对比一下t曲线和7段s曲线的实际过程；
t形：加速 -》 匀速 -》 减速
s形：加加速（） -》 匀加速（） -》 减加速（）-》 匀速（）-》 加减速（）-》 匀减速（）-》 减减速（）
上文在加速这块的文字描述可能读起来起来有点绕，下面看图：
2 理论
分析由于s曲线在加减速的过程中，其加速度是变化的，因此这里引入了新的一个变量 ，即加加速度。
因此对应上图的7段s速度曲线中，规定最大加速为，最小加速度为，则加速度的关系；
加加速（）：逐渐增大；
此时
匀加速（）：达到最大；
此时
减加速（）：逐渐减小；
此时
匀速（）：不变化；
此时
加减速（）： 逐渐增大；
此时
匀减速（）： 达到最大；
此时
减减速（）： 逐渐减小；
此时
“为加速度的绝对值；其中
所以通常需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度，就可以可确定整个运行过程［^2］ ；
最大速度：反映了系统的最大运行能力 ；
最大加速度：反映了系统的最大加减速能力 ；
加加速度：反映了系统的柔性；
柔性越大，过冲越大，运行时间越短；
柔性越小，过冲越小，运行时间越长；
2.1 加速度时间关系方程
整个加速度变化的过程具体如下图所示；
再次强调一下 和 的关系，另外这里再引入变量 ，
比如，当前时刻 ，即 位于区间 ，则如果将 作为初始点，则 为 相对于时刻的时间，则有：
下面可以得到加速度与时间的关系函数，具体如下：
根据 ① 式，将 代入 ② 式可以得到：
上式中 ；
2.2 速度时间关系方程
速度和加速度满足 ；加加速度和速度的关系满足：
结合加速度时间关系并结合② 式可以得到速度曲线关系，具体关系如下图所示；
进一步简化可以得到：
2.3 位移时间关系方程
位移 和加加速度 直接满足关系如下：
简单推导
因此可以得到：
“积分忘的差不多了，回去再复习一下；
最终位移的方程如下所示；
3 程序实现的思路
正如前面所提到的，s曲线规划需要确定三个最基本的系统参数 ：系统最大速度 ，最大加速度a_{max} ，加加速度，这样就可以确定这个运行过程。这里有一个隐性的条件，就是在运行的过程中可以达到最大速度，这样才是完整的7段s曲线，另外这里还有一些中间参数：
，因此有 ；
加加速度 ；
；
，用户给定整个运行过程所需要的时间；
但是通常实际过程中关心，，；
3.1 推导
理想状态假设存在 和，则推导过程如下：
因此可以得到：
简化之后得到：
根据②式可知：
最终得到：
下面可以根据位移时间关系方程进行离散化的程序编写。
假设可以到达最大速度，且用户给定了整个过程运行时间，则 的推导如下：
简化上式可以得到：
根据 代入上式可得：
3.2 的推导
这时候还剩下需要计算，通过已量 可以推导出来；首先位移之间满足关系如下：
其中加速区长度为 ；其中减速区长度为 ；
具体推导；［^2］前面提到过，，因此在=0的时候，则
这里简单推导一下：
根据④，⑤最终简化得到：
“：为运行的总时间：为运行的总路程
详细推导过程如下：
因为：
因为：
所以，简化得到：
所以可以得到：
因为：
将其代入可以得到：
简化得到最终结果：
4 matlab
程序matlab程序亲测可以运行，做了简单的修改，因为这里直接给定了整个运行过程的时间，所以需要在scurvepara函数中求出加加速度 的值，路程为 1：
scurvepara
function ［tf1，v，a，j，t］ = scurvepara（tf， v， a）
t = zeros（1，7）;
for i=1:1000
% 加加速度 j
j = （a^2 * v） / （tf*v*a - v^2 - a）;
% tk
t（1） = a / j;
t（2） = v / a - a / j; % t2 = v / a - t1;
t（3） = t（1）;
t（4） = tf - 2 * a / j - 2 * v / a; % t4 = tf - 4*t1 - 2*t2;
t（5） = t（3）;
t（6） = t（2）;
t（7） = t（1）;
% 根据t2和t4判断s曲线的类型
if t（2） 《 -1e-6
a = sqrt（v*j）;
display（‘t2《0’）;
elseif t（4） 《 -1e-6
v = tf*a/2 - a*a/j;
display（‘t4《0’）;
elseif j 《 -1e-6
tf = （v^2 + a） / （v*a） + 1e-1;
display（‘j《0’）;
else
break;
end
end
a = a;
v = v;
tf1 = tf;
end
scurvescaling
function s = scurvescaling（t，v，a，j，t，tf）
% j = （a^2 * v） / （tf*v*a - v^2 - a）;
% t（1） = a / j;
% t（2） = v / a - a / j; % t（2） = v / a - t（1）;
% t（3） = t（1）;
% t（4） = tf - 2 * a / j - 2 * v / a; % t（4） = tf - 4*t（1） - 2*t（2）;
% t（5） = t（3）;
% t（6） = t（2）;
% t（7） = t（1）;
%%
if （t 》= 0 && t 《= t（1））
s = 1/6 * j * t^3;
elseif （ t 》 t（1） && t 《= t（1）+t（2） ）
dt = t - t（1）;
s = 1/2 * a * dt^2 + a^2/（2*j） * dt.。.
+ a^3/（6*j^2）;
elseif （ t 》 t（1）+t（2） && t 《= t（1）+t（2）+t（3） ）
dt = t - t（1） - t（2）;
s = -1/6*j*dt^3 + 1/2*a*dt^2 + （a*t（2） + a^2/（2*j））*dt 。..
+ 1/2*a*t（2）^2 + a^2/（2*j）*t（2） + a^3/（6*j^2）;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4） ）
dt = t - t（1） - t（2） - t（3）;
s = v*dt 。..
+ （-1/6*j*t（3）^3） + 1/2*a*t（3）^2 + （a*t（2） + a^2/（2*j））*t（3） + 1/2*a*t（2）^2 + a^2/（2*j）*t（2） + a^3/（6*j^2）;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3）+t（4） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5） ）
t_temp = tf - t;
dt = t_temp - t（1） - t（2）;
s = -1/6*j*dt^3 + 1/2*a*dt^2 + （a*t（2） + a^2/（2*j））*dt 。..
+ 1/2*a*t（2）^2 + a^2/（2*j）*t（2） + a^3/（6*j^2）;
s = 1 - s;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5）+t（6） ）
t_temp = tf - t;
dt = t_temp - t（1）;
s = 1/2 * a * dt^2 + a^2/（2*j） * dt + a^3/（6*j^2）;
s = 1 - s;
elseif （ t 》 t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5）+t（6） && t 《= t（1）+t（2）+t（3）+t（4）+t（5）+t（6）+t（7） + 1e5 ）
t_temp = tf - t;
s = 1/6 * j * t_temp^3;
s = 1 - s;
end
end
测试的代码如下：test
%%
n = 500;
thetastart = 0; %起始位置
thetaend = 90; %最终位置
vtheta = 90; %1 速度
atheta = 135; %1.5 加速度
tf = 1.8; % 总行程时间
v = vtheta/（thetaend - thetastart）;
a = atheta/（thetaend - thetastart）;
v = abs（v）;
a = abs（a）;
theta = zeros（1，n）;
s = zeros（1，n）;
sd = zeros（1，n）;
sdd = zeros（1，n）;
［tf，v，a，j，t］ = scurvepara（tf， v， a）;
display（j， ‘j：’）;
display（tf，‘tf：’）;
display（v，‘v：’）;
display（a， ‘da：’）;
display（tf-tf，‘dtf：’）;
display（v-v，‘dv：’）;
display（a-a， ‘da：’）;
t=linspace（0，tf，n）;
dt = t（2） - t（1）;
for i = 1:n
if i == n
a = a;
end
s（i） = scurvescaling（t（i），v，a，j，t，tf）;
theta（i） = thetastart + s（i） * （thetaend - thetastart）;
if i》1
sd（i-1） = （s（i） - s（i-1）） / dt;
end
if i》2
sdd（i-2） = （sd（i-1） - sd（i-2）） / dt;
end
end
subplot（3，1，1）;
legend（‘theta’）;
xlabel（‘t’）;
subplot（3，1，1）;
plot（t，s）
legend（‘位移’）;
xlabel（‘t’）;
title（‘位置曲线’）;
subplot（3，1，2）;
plot（t，sd）;
legend（‘速度’）;
xlabel（‘t’）;
title（‘速度曲线’）;
subplot（3，1，3）;
plot（t，sdd）;
legend（‘加速度’）;
xlabel（‘t’）;
title（‘加速度曲线’）;
看到最终仿真结果和预期相同；
最后再看一下t形和s形速度曲线规划的效果对比：
5 总结
本文只对7段的s曲线规划做了详细的推导和介绍，matlab中的程序对于4段和5段都有做实现，很多是在理想情况下进行推导的，初始速度默认为0，终止速度也为0，并且假设加减速区域相互对称。最终运行结果符合预期效果。
“文中难免有错误和纰漏之处，请大佬们不吝赐教创作不易，如果本文帮到了您；
6 参考
［^1］：陈友东 魏洪兴 王琦魁。数控系统的直线和 s 形加减速离散算法［d］。北京：中国机械工程，2010.
［^2］：郭新贵 李从心 s 曲线加减速算法研究 上海交通大学国家模具 cad 工程研究中心 ， 200030
物联网智能公寓设备_智能家居网关
持续创新夯实云网算力底座，软硬协同加速数智化转型
Saildrone推出72英尺长的自动驾驶海底测绘船
物联网怎样帮助患者恢复
电子分频前后级放大器后级部分（一）
详解S型加减速曲线规划算法总结
柔性上料 柔性振盘anyfeeder 弗莱克斯
RTX 40 SUPER最终规格实锤！好像不用抽奖了
六要素超声波微气象仪的详细介绍
Faraday Future称在美工厂获得临时办公许可 贾跃亭陪同考察
多光子显微镜成像技术：用于体内神经元成像的多种技术
浙江联通携手中兴通讯成功完成了5G新型智能城域网试点
联想发布哪两大智能场景解决方案？
高压跌落式熔断器结构
高频使用的几种设计模式
专家面对面研讨会合肥站-孟昊：问题解答和产品的现场调试（2）
工控项目调试全过程分享值得收藏
北斗卫星和低轨通信卫星技术对比
这几种智能门禁系统方案，一点你就明白
小米6发布会提前看：小米6和小米Note2都是炮灰，小米MIX2才是发布会的主角？