使用积分器模块进行滤波器设计
本应用笔记解释了一种使用积分器模块和一些简单的数学操作来产生任意阶次滤波器响应的方法。该方法精确，易于应用，并且在需要非标准滤波器响应时可替代“标准”滤波器网络集。
介绍
关于标准滤波器响应的设计和实现，已经发表了许多文献和软件。当需要非标准滤波器响应时，通常由电路设计人员使用自己的“标准”滤波器网络集来生成解决方案。但是，这种方法还有另一种选择，该方法精确，易于应用，并使用积分器块和一些简单的数学操作来生成任何阶次的滤波器响应。
滤波器设计方法
该系统使用简单的运算放大器积分器模块，其示例如图1所示。该方法可应用于连续时间和开关滤波器（例如开关电容滤波器）设计。
图1.基于运算放大器的（线性）积分器电路模块和符号表示。
图1中积分器的传递函数及其符号表示如图2中的表达式所示。该电路对输入电压的响应（输出）以每倍频程6db的速率随频率而减小增益，单位增益以赫兹为单位的频率为1/2πcr。
图2.图1中积分器电路模块的传递函数。
该技术的应用
设计过程从所需的滤波器传递函数开始。图3中的公式表示二阶低通滤波器响应，将用于说明。该技术可用于任何滤波器类型，并且易于扩展到高阶系统。
图3.具有低通响应的二阶滤波器的传递函数。
然后将一系列数学步骤应用于传递函数，以获得以下形式的表达式：
vout = ƒ(vin, vout, 1/s)
请注意，结果表达式中的所有频率相关项（出现 s）都必须出现在分母项中。这是因为最终电路将由积分器组成，即1/s的功能。需要三个基本的数学步骤。每个阶段获得的表达式如下。
第 1 步。交叉乘法得到
s² × vout + ω0/q × s × vout + ω0² × vout = ω0² × vin
第 2 步。除以 s 的最高幂得到
vout + [(ω0/q) × vout]/s + (ω0² × vout)/s² = ω0² × vin/s²
第 3 步。重新排列以获取 v 的表达式外
vout = vin × (ω0²/s²) - vout × (ω0²/s²) - vout × [(ω0/q)/s]
步骤3中产生的方程现在是将执行所需滤波功能的积分器模块网络的定义方程。
剩下的两个设计步骤有些直观，但规则很简单。首先，生成集成器网络图。这使用许多积分器和求和节点来生成由步骤 3 中的定义方程描述的网络。要生成此网络，首先要考虑定义方程的形式。这表示输出电压（v外） 就 v 的功能而言外和 v在，其中每个函数都是一个或多个积分器项的乘积。
从左到右考虑这些项，第一项是vin和两个积分器级（1/s²）的函数。因此，信号vin必须通过两个积分器模块，然后才能出现在vout上。生成图表的第一步是绘制vin码，为两个串联的积分器模块供电，第二个积分器的输出连接到vout。第二项也是两个积分器级的函数，但这次积分器模块从vout信号馈电。此外，前两项的1/s²系数相同，为ω0²，因此使前两项的源电压共享一条通往输出的公共路径是合理的。因此，求和结插入到第一个积分器级之前，并通过与vin和vout的连接提供。方程的第三项是vout和单个积分器级的函数。为了说明这一点，vout还必须馈送到第二个积分器模块的输入端。这是通过插入第二个求和结来完成的，这次是在第二个积分器块之前，输入来自第一个积分器块和 v外.
要完成网络，必须为每个求和结输入分配正确的符号（反相或同相）。图1所示积分器的传递函数形式为-1/st，因此积分器模块将内置信号反转。符号被分配给从输出返回到输入的求和交汇点。步骤 3 等式中的第三项表明来自 v 的反馈路径外通过第二个求和结和第二个积分器，然后回到 v外应该是反转的。由于积分器已经包含反转，因此从 v 到第二个求和结的输入外应该是同相的。通过类似的分析可以看出，由于定义方程的第一项是正数，因此从 v 开始的路径在到 v外应该是同相的。由于两个积分器都反转信号，因此如果第一和第二求和结的输入，即来自v在和第一个积分器模块分别是同相的。请注意，如果两个输入都反相，这也适用。然而，正如我们将在最终设计阶段看到的那样，简单积分器电路的自然形式是同相求和结，然后是反相积分器。积分器图是通过将一个符号分配给最终求和结输入来完成的，该输入来自 v外到第一个求和交汇点。这是由定义方程中的第二项给出的，该项为负数。由于通过两个积分器的路径是同相的，因此必须将所需的反演置于信号输入端，以便从v进行第一次求和外.步骤 3 定义方程的结果网络如图 4 所示。
图4.积分器网络表示步骤 3 的定义方程。
积分器时间常数，t1和 t2现在可以分配。从积分器网络中，对定义方程的第三项的推导和分析，我们发现：
-ω0/qs = -1/st2 → t2 = q/ω0
同样，从定义方程的第一项和第二项中，我们发现：
ω0²/s² = 1/s²t1t2 → t1 = 1/ω0²t2 = 1/ω0q
ω 的值0然后选择 q 和时间常数 t1和 t2计算方法如下：
最后一步是将图4所示的积分器网络转换为运算放大器/电阻/电容电路。标准反相运算放大器积分器模块由运算放大器、反馈电容和输入电阻组成，相当于单个（同相）求和节点，后跟一个（反相）积分器。然后，通过在运算放大器积分器模块中添加更多输入电阻来容纳多个输入求和节点。
图5所示电路为所得有源滤波电路，由围绕max4322运算放大器构建的运算放大器积分模块构成。为 r 给出的值1/ 12， c1和 c2t的产生值分别为14.96μs和7.05μs。滤波器的增益响应如图6所示。
注意向 ic 反馈的技巧1.要严格再现图2中的网络，需要在第一个求和节点的反馈中放置一个逆变器。应用来自 v 的反馈外到ic的同相输入1在ic的输出端产生信号1的 （v外+ v外/圣1），提供必要的积分输出以及从 v 施加的信号的副本外到第二个求和节点。删除第二个求和节点的反馈路径可恢复正确的传递函数。
图5.图2中积分器网络的电路实现。
图6.滤波器的增益响应如图5所示。
上述示例可以使用简单的双通道运算放大器ic和少量无源元件来实现。在考虑高阶系统的情况下，通过使用多级滤波器ic，可以大大简化整体设计任务。这类元件的两个例子是max274/max275。这些器件分别提供基于一系列积分器模块的四阶和八阶连续时间滤波。这些器件的滤波时间常数仅由外部电阻值定义，因为每个积分器级的反馈电容均在片内提供。
如果设计人员希望滤波器设计具有更高程度的可编程性，那么开关电容滤波器方法可能很合适。提供开关电容构建模块ic，可通过可编程时钟或电阻进行调整。某些器件还具有微处理器接口功能。max260和max268系列开关电容滤波器构建模块ic为寻求可编程滤波功能的人士提供了全方位的控制方法。
这里描述的设计过程功能强大且用途广泛。它几乎可以应用于任何有源滤波要求和任何顺序的功能。此外，由此产生的简单集成器模块的实现简化了组件的选择和公差问题。一些有源滤波器实现加剧了基本元件容差的影响，而积分器方法产生的基本容差敏感性与无源lcr滤波器电路相同的基本容差敏感性。此外，运算放大器带宽变化的影响相对容易计算，因为每个积分器模块的（所需）单位增益带宽只需由1/t rad/s = 1/2πrc hz给出。
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滤波器设计方法
该系统使用简单的运算放大器积分器模块，其示例如图1所示。该方法可应用于连续时间和开关滤波器（例如开关电容滤波器）设计。
图1.基于运算放大器的（线性）积分器电路模块和符号表示。
图1中积分器的传递函数及其符号表示如图2中的表达式所示。该电路对输入电压的响应（输出）以每倍频程6db的速率随频率而减小增益，单位增益以赫兹为单位的频率为1/2πcr。
图2.图1中积分器电路模块的传递函数。
该技术的应用
设计过程从所需的滤波器传递函数开始。图3中的公式表示二阶低通滤波器响应，将用于说明。该技术可用于任何滤波器类型，并且易于扩展到高阶系统。
图3.具有低通响应的二阶滤波器的传递函数。
然后将一系列数学步骤应用于传递函数，以获得以下形式的表达式：
vout = ƒ(vin, vout, 1/s)
请注意，结果表达式中的所有频率相关项（出现 s）都必须出现在分母项中。这是因为最终电路将由积分器组成，即1/s的功能。需要三个基本的数学步骤。每个阶段获得的表达式如下。
第 1 步。交叉乘法得到
s² × vout + ω0/q × s × vout + ω0² × vout = ω0² × vin
第 2 步。除以 s 的最高幂得到
vout + [(ω0/q) × vout]/s + (ω0² × vout)/s² = ω0² × vin/s²
第 3 步。重新排列以获取 v 的表达式外
vout = vin × (ω0²/s²) - vout × (ω0²/s²) - vout × [(ω0/q)/s]
步骤3中产生的方程现在是将执行所需滤波功能的积分器模块网络的定义方程。
剩下的两个设计步骤有些直观，但规则很简单。首先，生成集成器网络图。这使用许多积分器和求和节点来生成由步骤 3 中的定义方程描述的网络。要生成此网络，首先要考虑定义方程的形式。这表示输出电压（v外） 就 v 的功能而言外和 v在，其中每个函数都是一个或多个积分器项的乘积。
从左到右考虑这些项，第一项是vin和两个积分器级（1/s²）的函数。因此，信号vin必须通过两个积分器模块，然后才能出现在vout上。生成图表的第一步是绘制vin码，为两个串联的积分器模块供电，第二个积分器的输出连接到vout。第二项也是两个积分器级的函数，但这次积分器模块从vout信号馈电。此外，前两项的1/s²系数相同，为ω0²，因此使前两项的源电压共享一条通往输出的公共路径是合理的。因此，求和结插入到第一个积分器级之前，并通过与vin和vout的连接提供。方程的第三项是vout和单个积分器级的函数。为了说明这一点，vout还必须馈送到第二个积分器模块的输入端。这是通过插入第二个求和结来完成的，这次是在第二个积分器块之前，输入来自第一个积分器块和 v外.
要完成网络，必须为每个求和结输入分配正确的符号（反相或同相）。图1所示积分器的传递函数形式为-1/st，因此积分器模块将内置信号反转。符号被分配给从输出返回到输入的求和交汇点。步骤 3 等式中的第三项表明来自 v 的反馈路径外通过第二个求和结和第二个积分器，然后回到 v外应该是反转的。由于积分器已经包含反转，因此从 v 到第二个求和结的输入外应该是同相的。通过类似的分析可以看出，由于定义方程的第一项是正数，因此从 v 开始的路径在到 v外应该是同相的。由于两个积分器都反转信号，因此如果第一和第二求和结的输入，即来自v在和第一个积分器模块分别是同相的。请注意，如果两个输入都反相，这也适用。然而，正如我们将在最终设计阶段看到的那样，简单积分器电路的自然形式是同相求和结，然后是反相积分器。积分器图是通过将一个符号分配给最终求和结输入来完成的，该输入来自 v外到第一个求和交汇点。这是由定义方程中的第二项给出的，该项为负数。由于通过两个积分器的路径是同相的，因此必须将所需的反演置于信号输入端，以便从v进行第一次求和外.步骤 3 定义方程的结果网络如图 4 所示。
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图5.图2中积分器网络的电路实现。
图6.滤波器的增益响应如图5所示。
上述示例可以使用简单的双通道运算放大器ic和少量无源元件来实现。在考虑高阶系统的情况下，通过使用多级滤波器ic，可以大大简化整体设计任务。这类元件的两个例子是max274/max275。这些器件分别提供基于一系列积分器模块的四阶和八阶连续时间滤波。这些器件的滤波时间常数仅由外部电阻值定义，因为每个积分器级的反馈电容均在片内提供。
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