关于MATLAB数据建模常用方法分享和介绍
以数据为基础而建立数学模型的方法称为数据建模方法， 包括回归、统计、机器学习、深度学习、灰色预测、主成分分析、神经网络、时间序列分析等方法， 其中最常用的方法还是回归方法。 本讲主要介绍在数学建模中常用几种回归方法的 matlab 实现过程。
根据回归方法中因变量的个数和回归函数的类型（线性或非线性）可将回归方法分为:一元线性、一元非线性、多元回归。另外还有两种特殊的回归方式，一种在回归过程中可以调整变量数的回归方法，称为逐步回归，另一种是以指数结构函数作为回归模型的回归方法，称为 logistic 回归。本讲将逐一介绍这几个回归方法。
1.一元回归
1.1一元线性回归
[ 例1 ]近 10 年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
表1 商品零售总额与职工工资总额
该问题是典型的一元回归问题，但先要确定是线性还是非线性，然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的 matlab 代码如下：
（1）输入数据
clc, clear all, closeall
x=[23.80,27.60,31.60,32.40,33.70,34.90,43.20,52.80,63.80,73.40];
y=[41.4,51.8,61.70,67.90,68.70,77.50,95.90,137.40,155.0,175.0];
（2）采用最小二乘回归
figure
plot(x,y,'r*')%作散点图
xlabel('x（职工工资总额）','fontsize', 12)%横坐标名
ylabel('y（商品零售总额）', 'fontsize',12)%纵坐标名
set(gca,'linewidth',2);
% 采用最小二乘拟合
lxx=sum((x-mean(x)).^2);
lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
b1=lxy/lxx;
b0=mean(y)-b1*mean(x);
y1=b1*x+b0;
hold on
plot(x, y1,'linewidth',2);
运行本节程序，会得到如图 1 所示的回归图形。在用最小二乘回归之前，先绘制了数据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。
图1职工工资总额和商品零售总额关系趋势图
（3）采用 linearmodel.fit 函数进行线性回归
m2 = linearmodel.fit(x,y)
运行结果如下：
m2 =
linear regression model:
y ~ 1 + x1
estimated coefficients:
estimate se tstat pvalue
(intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215
x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-09
r-squared: 0.987, adjusted r-squared 0.985
f-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
（4）采用 regress 函数进行回归
y=y';
x=[ones(size(x,2),1),x'];
[b, bint, r, rint, s] = regress(y, x)
运行结果如下：
b =
-23.5493
2.7991
在以上回归程序中，使用了两个回归函数linearmodel.fit 和 regress。在实际使用中，只要根据自己的需要选用一种就可以了。函数 linearmodel.fit 输出的内容为典型的线性回归的参数。关于 regress，其用法多样，matlab 帮助中关于 regress 的用法，有以下几种：
b = regress(y,x)
[b,bint] = regress(y,x)
[b,bint,r] = regress(y,x)
[b,bint,r,rint] = regress(y,x)
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x)
[...] = regress(y,x,alpha)
输入 y（因变量，列向量），x（1与自变量组成的矩阵）和（alpha，是显著性水平, 缺省时默认0.05）。
输出
bint 是 β0，β1的置信区间，r 是残差（列向量），rint是残差的置信区间，s包含4个统计量：决定系数 r^2（相关系数为r），f 值，f(1,n-2) 分布大于 f 值的概率 p，剩余方差 s^2 的值。也可由程序 sum(r^2)/(n-2) 计算。其意义和用法如下：r^2 的值越接近 1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足
则认为变量y与x显著地有线性关系，其中 f1-α(1，n-2)的值可查f分布表，或直接用 matlab 命令 finv(1-α,1, n-2) 计算得到；如果 p f1-α(m,n-m-1) ，即认为因变量 y 与自变量x1,x2,...,xm之间有显著的线性相关关系；否则认为因变量 y 与自变量x1,x2,...,xm之间线性相关关系不显著。本例 ｆ＝67.919 > f1-0.05( 3,20 ) = 3.10。
3）p 值检验：若 p < α（α 为预定显著水平），则说明因变量 y 与自变量x1,x2,...,xm之间显著地有线性相关关系。本例输出结果，p<0.0001,显然满足 p<α=0.05。
以上三种统计推断方法推断的结果是一致的，说明因变量 y与自变量之间显著地有线性相关关系，所得线性回归模型可用。s^2当然越小越好，这主要在模型改进时作为参考。
3.逐步归回
[ 例4 ]（hald,1960）hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 y（单位：卡/克）与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关：
在生产中测得 12 组数据，见表5，试建立 y关于这些因子的“最优”回归方程。
表5水泥生产的数据
对于例 4 中的问题，可以使用多元线性回归、多元多项式回归，但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看，逐步回归是以上两种回归方法的结合，可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题，逐步回归的代码如下：
x=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];%自变量数据
y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];%因变量数据
stepwise（x,y,[1,2,3,4],0.05,0.10）% in=[1,2,3,4]表示x1、x2、x3、x4均保留在模型中
程序执行后得到下列逐步回归的窗口，如图 4 所示。
图4逐步回归操作界面
在图 4 中，用蓝色行显示变量 x1、x2、x3、x4 均保留在模型中，窗口的右侧按钮上方提示：将变量x3剔除回归方程（move x3 out），单击 next step 按钮，即进行下一步运算，将第 3 列数据对应的变量 x3 剔除回归方程。单击 next step 按钮后，剔除的变量 x3 所对应的行用红色表示，同时又得到提示：将变量 x4 剔除回归方程（move x4 out），单击 next step 按钮，这样一直重复操作，直到 “next step” 按钮变灰，表明逐步回归结束，此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。
4.logistic 回归
[ 例5 ]企业到金融商业机构贷款，金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式，0 表示企业两年后破产，将拒绝贷款，而 1 表示企业 2 年后具备还款能力，可以贷款。在表 6 中，已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果，试建立模型对其他 5 家企业（企业 21-25）进行评估。
表6企业还款能力评价表
对于该问题，很明显可以用 logistic 模型来回归，具体求解程序如下：
% logistic回归matlab实现程序
%% 数据准备
clc, clear, closeall
x0=xlsread('logistic_ex1.xlsx', 'a2:c21');% 回归模型的输入
y0=xlsread('logistic_ex1.xlsx', 'd2:d21');% 回归模型的输出
x1=xlsread('logistic_ex1.xlsx', 'a2:c26');% 预测数据输入
%% logistics函数
gm = fitglm(x0,y0,'distribution','binomial');
y1 = predict(gm,x1);
%% 模型的评估
n0 =1:size(y0,1); n1= 1:size(y1,1);
plot(n0', y0, '-kd');
hold on; scatter(n1', y1, 'b')
xlabel('数据点编号'); ylabel('输出值');
得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
图5 回归结果与原始数据的比较图
5.小结
本讲主要介绍数学建模中常用的几种回归方法。在使用回归方法的时候，首先可以判断自变量的个数，如果超过 2 个，则需要用到多元回归的方法，否则考虑用一元回归。然后判断是线性还是非线性，这对于一元回归是比较容易的，而对于多元，往往是将其他变量保持不变，将多元转化为一元再去判断是线性还是非线性。如果变量很多，而且复杂，则可以首先考虑多元线性回归，检验回归效果，也可以用逐步回归。总之，用回归方法比较灵活，根据具体情景还是比较容易找到合适的方法的。
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1.一元回归
1.1一元线性回归
[ 例1 ]近 10 年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
表1 商品零售总额与职工工资总额
该问题是典型的一元回归问题，但先要确定是线性还是非线性，然后就可以利用对应的回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的 matlab 代码如下：
（1）输入数据
clc, clear all, closeall
x=[23.80,27.60,31.60,32.40,33.70,34.90,43.20,52.80,63.80,73.40];
y=[41.4,51.8,61.70,67.90,68.70,77.50,95.90,137.40,155.0,175.0];
（2）采用最小二乘回归
figure
plot(x,y,'r*')%作散点图
xlabel('x（职工工资总额）','fontsize', 12)%横坐标名
ylabel('y（商品零售总额）', 'fontsize',12)%纵坐标名
set(gca,'linewidth',2);
% 采用最小二乘拟合
lxx=sum((x-mean(x)).^2);
lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
b1=lxy/lxx;
b0=mean(y)-b1*mean(x);
y1=b1*x+b0;
hold on
plot(x, y1,'linewidth',2);
运行本节程序，会得到如图 1 所示的回归图形。在用最小二乘回归之前，先绘制了数据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。
图1职工工资总额和商品零售总额关系趋势图
（3）采用 linearmodel.fit 函数进行线性回归
m2 = linearmodel.fit(x,y)
运行结果如下：
m2 =
linear regression model:
y ~ 1 + x1
estimated coefficients:
estimate se tstat pvalue
(intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215
x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-09
r-squared: 0.987, adjusted r-squared 0.985
f-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
（4）采用 regress 函数进行回归
y=y';
x=[ones(size(x,2),1),x'];
[b, bint, r, rint, s] = regress(y, x)
运行结果如下：
b =
-23.5493
2.7991
在以上回归程序中，使用了两个回归函数linearmodel.fit 和 regress。在实际使用中，只要根据自己的需要选用一种就可以了。函数 linearmodel.fit 输出的内容为典型的线性回归的参数。关于 regress，其用法多样，matlab 帮助中关于 regress 的用法，有以下几种：
b = regress(y,x)
[b,bint] = regress(y,x)
[b,bint,r] = regress(y,x)
[b,bint,r,rint] = regress(y,x)
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x)
[...] = regress(y,x,alpha)
输入 y（因变量，列向量），x（1与自变量组成的矩阵）和（alpha，是显著性水平, 缺省时默认0.05）。
输出
bint 是 β0，β1的置信区间，r 是残差（列向量），rint是残差的置信区间，s包含4个统计量：决定系数 r^2（相关系数为r），f 值，f(1,n-2) 分布大于 f 值的概率 p，剩余方差 s^2 的值。也可由程序 sum(r^2)/(n-2) 计算。其意义和用法如下：r^2 的值越接近 1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足
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以上三种统计推断方法推断的结果是一致的，说明因变量 y与自变量之间显著地有线性相关关系，所得线性回归模型可用。s^2当然越小越好，这主要在模型改进时作为参考。
3.逐步归回
[ 例4 ]（hald,1960）hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 y（单位：卡/克）与水泥中 4 种化学成品所占的百分比有关：
在生产中测得 12 组数据，见表5，试建立 y关于这些因子的“最优”回归方程。
表5水泥生产的数据
对于例 4 中的问题，可以使用多元线性回归、多元多项式回归，但也可以考虑使用逐步回归。从逐步回归的原理来看，逐步回归是以上两种回归方法的结合，可以自动使得方程的因子设置最合理。对于该问题，逐步回归的代码如下：
x=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12];%自变量数据
y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3];%因变量数据
stepwise（x,y,[1,2,3,4],0.05,0.10）% in=[1,2,3,4]表示x1、x2、x3、x4均保留在模型中
程序执行后得到下列逐步回归的窗口，如图 4 所示。
图4逐步回归操作界面
在图 4 中，用蓝色行显示变量 x1、x2、x3、x4 均保留在模型中，窗口的右侧按钮上方提示：将变量x3剔除回归方程（move x3 out），单击 next step 按钮，即进行下一步运算，将第 3 列数据对应的变量 x3 剔除回归方程。单击 next step 按钮后，剔除的变量 x3 所对应的行用红色表示，同时又得到提示：将变量 x4 剔除回归方程（move x4 out），单击 next step 按钮，这样一直重复操作，直到 “next step” 按钮变灰，表明逐步回归结束，此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。
4.logistic 回归
[ 例5 ]企业到金融商业机构贷款，金融商业机构需要对企业进行评估。评估结果为 0 , 1 两种形式，0 表示企业两年后破产，将拒绝贷款，而 1 表示企业 2 年后具备还款能力，可以贷款。在表 6 中，已知前 20 家企业的三项评价指标值和评估结果，试建立模型对其他 5 家企业（企业 21-25）进行评估。
表6企业还款能力评价表
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% logistic回归matlab实现程序
%% 数据准备
clc, clear, closeall
x0=xlsread('logistic_ex1.xlsx', 'a2:c21');% 回归模型的输入
y0=xlsread('logistic_ex1.xlsx', 'd2:d21');% 回归模型的输出
x1=xlsread('logistic_ex1.xlsx', 'a2:c26');% 预测数据输入
%% logistics函数
gm = fitglm(x0,y0,'distribution','binomial');
y1 = predict(gm,x1);
%% 模型的评估
n0 =1:size(y0,1); n1= 1:size(y1,1);
plot(n0', y0, '-kd');
hold on; scatter(n1', y1, 'b')
xlabel('数据点编号'); ylabel('输出值');
得到的回归结果与原始数据的比较如图5所示。
图5 回归结果与原始数据的比较图
5.小结
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