通过数学方法推导出4种功率计算公式
0 综述
本文通过数学方法推导出4种功率计算公式（即p11、p12、p21和p22）；然后给出了功率计算公式 p = (i^2)*r 的适用性；最后，说明了平均电流与有效电流差值大小的决定因素。
1 通过数学方法推导出4种功率计算公式
图1 瞬时电流波形
图1所示，假设有两个电流、两个开关、一个负载电阻，加载到负载电阻上的周期电流信号为i1和i2，我们将分别基于i1和i2的平均值和有效值，平方之后再平均，平均之后再平方，通过数学方法看它们的差异。
图1所示，瞬时电流波形表示如下：
1.1 先分别计算t1和t2两段时间内的能量（也就是先平方），然后再平均，计算功率，如下所示：
1.2 先计算tsw周期内的平均电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示：
1.3 分别计算t1和t2两段时间内的rms电流，然后先平方再平均，计算功率，如下所示：
1.4 先计算tsw周期内的rms电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示：
1.5 总结对比
2 当 i1 = i2 时，平均电流与有效电流分别是多少…
当 i1 = i2 时，我们使用i2替换公式(0.3)和(0.8)中的i1，可得：
使用 i^2×r 分别计算功率，可得：
综上所示，当 i1 ≠ i2 时，对比功率计算公式(0.4)和(0.9)可以发现，功率p12和p22是不同的。当 i1 = i2 时，对比功率计算公式(0.12)和(0.13)可以发现，功率p13和p23是相同的。这就从理论上说明了：
① 使用 i^2×r 计算功率时，其中的电流参数 i 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量。
② 由欧姆定律可知，直流电压 u = ir ，p = ui = (i*r)*i = (i^2)*r 计算得到的就是平均功率。
③ 当 i1 ≠ i2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的p11、p21和p22才是正确的平均功率，p12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。
3 当 i1 ≠ i2 时，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大…
我们已经知道了图1中瞬时电流的平均值为公式(0.3)，有效值为公式(0.8) 。参考图1，两个电流的差值为 i1 – i
2 = ∆i ，我们用i2和∆i表示i1，可得 i1 = i2 + ∆i ，并将其分别代入公式(0.3)和(0.8)，可得：
由此可知，平均值与有效值在经验上几乎相等，是因为周期信号的波动比较小，具体到这里就是因为 ∆i 比较小。我们使用极限的思维，当 ∆i 越来越小，最后会趋向于零，即 ∆i = 0 ；此时公式(0.14)和(0.15)分别为：
实际验证如下：
(1) 当i1 = 4，i2=2时，可见有效值与平均值差异为0.15，可以认为有效值等于平均值。
(2) 当i1 = 50，i2=2时，可见有效值与平均值差异为11.03，可以认为有效值等于平均值吗…
(3) 当i1 = 100，i2=2时，可见有效值与平均值差异为23.39，可以认为有效值等于平均值吗…
4 总结
(1) 通过数学方法推导出4种功率计算公式（即p11、p12、p21和p22）。
(2) 使用 i^2×r 计算功率时的条件是，其中的电流参数 i 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量；这样，在计算功率时，无论是“先平方再平均”，还是“先平均再平方”，得到的结果才是等同的，即p13和p23是相同的。否则，当电流参数 i 中包含纹波电流分量或交流电流分量时，“先平方再平均”与“先平均再平方”，得到的结果就是不同的。
这里直流与交流的边界，会导致功率计算结果的适用性不同，类似于buck电路会因为负载电流等边界的影响，导致有ccm和dcm两种完全不同的工作逻辑（dcm会比ccm复杂很多。
另外，当 i1 ≠ i2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的p11、p21和p22才是正确的平均功率，p12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。
(3) 通过理论与验证说明了，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大。电流波动越大，平均电流与有效电流的差值也就越大。
以buck电路为例，我们通常设定纹波电流为负载电流的0.3倍，所以平均电流与有效电流的差值相对较小。
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本文通过数学方法推导出4种功率计算公式（即p11、p12、p21和p22）；然后给出了功率计算公式 p = (i^2)*r 的适用性；最后，说明了平均电流与有效电流差值大小的决定因素。
1 通过数学方法推导出4种功率计算公式
图1 瞬时电流波形
图1所示，假设有两个电流、两个开关、一个负载电阻，加载到负载电阻上的周期电流信号为i1和i2，我们将分别基于i1和i2的平均值和有效值，平方之后再平均，平均之后再平方，通过数学方法看它们的差异。
图1所示，瞬时电流波形表示如下：
1.1 先分别计算t1和t2两段时间内的能量（也就是先平方），然后再平均，计算功率，如下所示：
1.2 先计算tsw周期内的平均电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示：
1.3 分别计算t1和t2两段时间内的rms电流，然后先平方再平均，计算功率，如下所示：
1.4 先计算tsw周期内的rms电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示：
1.5 总结对比
2 当 i1 = i2 时，平均电流与有效电流分别是多少…
当 i1 = i2 时，我们使用i2替换公式(0.3)和(0.8)中的i1，可得：
使用 i^2×r 分别计算功率，可得：
综上所示，当 i1 ≠ i2 时，对比功率计算公式(0.4)和(0.9)可以发现，功率p12和p22是不同的。当 i1 = i2 时，对比功率计算公式(0.12)和(0.13)可以发现，功率p13和p23是相同的。这就从理论上说明了：
① 使用 i^2×r 计算功率时，其中的电流参数 i 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量。
② 由欧姆定律可知，直流电压 u = ir ，p = ui = (i*r)*i = (i^2)*r 计算得到的就是平均功率。
③ 当 i1 ≠ i2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的p11、p21和p22才是正确的平均功率，p12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。
3 当 i1 ≠ i2 时，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大…
我们已经知道了图1中瞬时电流的平均值为公式(0.3)，有效值为公式(0.8) 。参考图1，两个电流的差值为 i1 – i
2 = ∆i ，我们用i2和∆i表示i1，可得 i1 = i2 + ∆i ，并将其分别代入公式(0.3)和(0.8)，可得：
由此可知，平均值与有效值在经验上几乎相等，是因为周期信号的波动比较小，具体到这里就是因为 ∆i 比较小。我们使用极限的思维，当 ∆i 越来越小，最后会趋向于零，即 ∆i = 0 ；此时公式(0.14)和(0.15)分别为：
实际验证如下：
(1) 当i1 = 4，i2=2时，可见有效值与平均值差异为0.15，可以认为有效值等于平均值。
(2) 当i1 = 50，i2=2时，可见有效值与平均值差异为11.03，可以认为有效值等于平均值吗…
(3) 当i1 = 100，i2=2时，可见有效值与平均值差异为23.39，可以认为有效值等于平均值吗…
4 总结
(1) 通过数学方法推导出4种功率计算公式（即p11、p12、p21和p22）。
(2) 使用 i^2×r 计算功率时的条件是，其中的电流参数 i 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量；这样，在计算功率时，无论是“先平方再平均”，还是“先平均再平方”，得到的结果才是等同的，即p13和p23是相同的。否则，当电流参数 i 中包含纹波电流分量或交流电流分量时，“先平方再平均”与“先平均再平方”，得到的结果就是不同的。
这里直流与交流的边界，会导致功率计算结果的适用性不同，类似于buck电路会因为负载电流等边界的影响，导致有ccm和dcm两种完全不同的工作逻辑（dcm会比ccm复杂很多。
另外，当 i1 ≠ i2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的p11、p21和p22才是正确的平均功率，p12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。
(3) 通过理论与验证说明了，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大。电流波动越大，平均电流与有效电流的差值也就越大。
以buck电路为例，我们通常设定纹波电流为负载电流的0.3倍，所以平均电流与有效电流的差值相对较小。
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